[论文解读] On Hahn polynomial expansion of a continuous function of bounded variation

René Goertz, Philipp Öffner|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2016

Mathematical functions and polynomials参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文研究了在 $[-1,1]$ 上等距网格上使用切比雪夫多项式进行最小二乘逼近的逐点收敛性。研究结果表明，对于有变差函数，当 $n^4/N \to 0$ 时收敛成立，通过渐近等价性和涉及 $n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N$ 的误差界，将离散的哈恩展开与连续的雅可比展开联系起来。主要贡献在于为在网格细化条件下哈恩多项式展开提供了定量收敛准则。

ABSTRACT

We consider the well-known method of least squares on an equidistant grid with $N+1$ nodes on the interval $[-1,1]$. We investigate the following problem: For which ratio $N/n$ and which functions, do we have pointwise convergence of the least square operator ${LS}_n^N:\mathcal{C}\left[-1,1 ight] ightarrow\mathcal{P}_n$? To solve this problem we investigate the relation between the Jacobi polynomials $P_k^{α,β}$ and the Hahn polynomials $Q_k\left(\cdot;α,β,N ight)$. Thereby we describe the least square operator ${LS}_n^N$ by the expansion of a function by Hahn polynomials. In particular we present the following result: The series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} Q_k}$ of a function $f$ by Hahn polynomials $Q_k$ converges pointwise, if the series expansion $\sum_{k=0}^n{\hat{f} P_k}$ of the function $f$ by Jacobi polynomials $P_k$ converges pointwise and if ${n^4}/N ightarrow 0$ for $n,N ightarrow\infty$. Furthermore we obtain the following result: Let $f\in\left\{g\in\mathcal{C}^1\left[-1,1 ight]:g^\prime\in\mathcal{BV}\left[-1,1 ight] ight\}$ and let $(N_n)_{n}$ be a sequence of natural numbers with ${n^4}/{N_n} ightarrow 0$. Then the least square method ${LS}_n^{N_n}[f]$ converges for each $x\in[-1,1]$.

研究动机与目标

• 确定最小二乘算子 $ {LS}_n^N $ 在 $[-1,1]$ 上连续有变差函数下逐点收敛的条件。
• 通过渐近极限建立离散哈恩多项式展开与连续雅可比多项式展开之间的联系。
• 以网格分辨率 $N$ 表示，推导哈恩多项式逼近的误差界，关联于相应雅可比展开的误差。
• 确定确保 $f \in \mathcal{C}^1[-1,1]$ 且 $f' \in \mathcal{BV}[-1,1]$ 时最小二乘法收敛的关键比值 $N/n$。

提出的方法

• 使用离散内积将最小二乘算子 $ {LS}_n^N[f] $ 表示为截断的哈恩多项式展开。
• 利用渐近关系 $ \lim_{N\to\infty} (-1)^k \binom{k+\alpha}{k} Q_k(\frac{N}{2}(1+x); \alpha,\beta,N) = P_k^{\beta,\alpha}(x) $ 联系哈恩多项式与雅可比多项式。
• 通过渐近展开和伽马函数恒等式估算哈恩与雅可比展开系数之间的差异。
• 通过雅可比展开误差加上余项 $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $ 来界定哈恩展开的逐点误差。
• 应用已知的雅可比展开收敛结果（针对 $\mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1]$ 中的函数）以推断哈恩展开的收敛性。
• 推导出当 $ f \in \mathcal{C}^1[-1,1] $ 且 $ f' \in \mathcal{BV}[-1,1] $ 时，$ n^4/N \to 0 $ 为逐点收敛的充分条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ N/n $ 的何种条件下，对连续有变差函数，通过哈恩多项式进行的最小二乘逼近在等距网格上实现逐点收敛？
• RQ2 哈恩多项式逼近的误差如何与对应雅可比多项式展开的误差相关？
• RQ3 当 $ N \to \infty $ 时，哈恩多项式展开的渐近行为如何？其与连续雅可比情形有何关联？
• RQ4 对于更光滑的函数（如 $ f \in \mathcal{C}^1[-1,1] $ 且 $ f' \in \mathcal{BV}[-1,1] $），在特定的网格细化比下，是否能保证哈恩展开的收敛性？

主要发现

• 对于 $ f \in \mathcal{C}[-1,1] \cap \mathcal{BV}[-1,1] $，若 $ n \leq n(\alpha,N) $，则哈恩展开误差由雅可比展开误差加上 $ \mathcal{O}(n^{3+\alpha+\max\{1,\alpha\}}/N) $ 有界。
• 若对应的雅可比展开收敛且当 $ n,N \to \infty $ 时 $ n^4/N \to 0 $，则哈恩展开的逐点收敛性可保证。
• 对于 $ f \in \{ g \in \mathcal{C}^1[-1,1] : g' \in \mathcal{BV}[-1,1] \} $，当 $ n^4/N_n \to 0 $ 时，$ {LS}_n^{N_n}[f] $ 在每个 $ x \in [-1,1] $ 处收敛。
• 临界网格比 $ N/n \to \infty $ 当 $ n \to \infty $ 时，且满足 $ n^4/N \to 0 $，为最小二乘法收敛的充分条件。
• 误差界依赖于参数 $ \alpha $，$ \alpha $ 越大，余项中 $ n $ 的幂次越高。
• 只要 $ n $ 相对于 $ N $ 增长足够缓慢，哈恩多项式展开与雅可比展开之间的误差随 $ N \to \infty $ 而衰减。