[论文解读] On Hamiltonian perturbations of hyperbolic systems of conservation laws

Boris Dubrovin, Siqi Liu+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2004

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 44被引用 35

一句话总结

本文建立了双哈密顿超bolic守恒律系统哈密顿扰动的准平凡性定理，证明了通过喷射坐标上的有理拟-米乌变换，任意阶次的双哈密顿扰动均可被消除。关键贡献在于对米乌型变换下不变量的系统分类，以及利用微分多项式结构与泊松铅笔理论将复杂微分扰动方程约化为标准形式的一般框架。

ABSTRACT

We study the general structure of formal perturbative solutions to the Hamiltonian perturbations of spatially one-dimensional systems of hyperbolic PDEs. Under certain genericity assumptions it is proved that any bihamiltonian perturbation can be eliminated in all orders of the perturbative expansion by a change of coordinates on the infinite jet space depending rationally on the derivatives. The main tools is in constructing of the so-called quasi-Miura transformation of jet coordinates eliminating an arbitrary deformation of a semisimple bihamiltonian structure of hydrodynamic type (the quasitriviality theorem). We also describe, following \cite{LZ1}, the invariants of such bihamiltonian structures with respect to the group of Miura-type transformations depending polynomially on the derivatives.

研究动机与目标

• 为一维超bolic守恒律系统的哈密顿扰动建立一个通用的正式框架。
• 对在导数多项式型的米乌型变换下双哈密顿结构的不变量进行分类。
• 证明任意半单双哈密顿型泊松结构的双哈密顿形变均可通过喷射空间中的有理坐标变换消除。
• 利用泊松铅笔理论与微分多项式理论，建立哈密顿PDE的一般约化方法。
• 为形式幂级数展开中哈密顿系统的扰动项提供系统性的消除方法。

提出的方法

• 构造一个关于喷射导数有理的拟-米乌变换，以消除所有双哈密顿型泊松结构的双哈密顿扰动。
• 应用具有明确定义次数结构的微分多项式理论：deg(w^{(m)}) = m，deg(w^{(m)}) = m+2（对导数而言）。
• 使用局部、系数为喷射变量多项式的泊松括号形式，确保与哈密顿动力学的相容性。
• 采用带谱参数 λ 的Lax对形式，以表征控制旋转系数的Lamé型方程的解。
• 通过在 λ = ∞ 和 λ = 0 处求解线性超定系统，构造平坦铅笔的两个度量的平坦坐标。
• 将双哈密顿结构的分类问题约化为求解旋转系数 γ_{ij} 的方程组 (A.2)–(A.4)。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有半单双哈密顿型系统的双哈密顿扰动是否均可通过喷射空间中的坐标变换消除？
• RQ2 在导数多项式型米乌变换下，双哈密顿结构的不变量是什么？
• RQ3 如何利用微分多项式形式化方法对超bolic PDE的哈密顿扰动的一般结构进行分类？
• RQ4 谱参数 λ 在表征泊松铅笔的共同卡西米尔量与平坦坐标中的作用是什么？
• RQ5 旋转系数 γ_{ij} 如何决定底层泊松铅笔的几何结构？

主要发现

• 证明了准平凡性定理：任意半单双哈密顿型泊松结构的双哈密顿扰动均可通过喷射坐标上的有理拟-米乌变换在所有阶次上被消除。
• 通过泊松铅笔的中心不变量，完全描述了双哈密顿结构在多项式米乌型变换下的不变量。
• 方程组 (A.2)–(A.4) 对旋转系数 γ_{ij} 的解由 n(n−1) 个单变量的任意函数参数化，从而实现了对半单双哈密顿结构的一般分类。
• 通过在 λ = ∞ 和 λ = 0 处求解线性系统 (A.12) 的基本解，利用积分法构造了平坦铅笔的两个度量的平坦坐标。
• 证明了哈密顿系统 (1.7) 的形式幂级数展开可通过所提出的变换约化为标准形式，同时保持局部性与多项式结构。
• 该方法可普遍应用于所有半单双哈密顿系统，唯一要求是结构系数具有相异特征值且光滑。