[论文解读] On Hanf numbers of the infinitary order property

Rami Grossberg, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 1998

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文研究了模型论中与无穷序性质相关的汉夫数，引入并分析了诸如 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 和 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 的基数和序数取值函数，以衡量 $L_{\kappa^+, \omega}$ 逻辑中具有特定序性质的理论的复杂性。主要贡献在于确立了这些汉夫型函数的上界和结构性质，特别是证明当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，$\mu^*(\gamma, \kappa)$ 的上界为 $2^{\kappa}$。

ABSTRACT

We study several cardinal, and ordinal--valued functions that are relatives of Hanf numbers. Let kappa be an infinite cardinal, and let T subseteq L_{kappa^+, omega} be a theory of cardinality <= kappa, and let gamma be an ordinal >= kappa^+. For example we look at (1) mu_{T}^*(gamma, kappa):= min {mu^* for all phi in L_{infinity, omega}, with rk(phi)< gamma, if T has the (phi, mu^*)-order property then there exists a formula phi'(x;y) in L_{kappa^+, omega}, such that for every chi >= kappa, T has the (phi', chi)-order property}; and (2) mu^*(gamma, kappa):= sup{mu_T^*(gamma, kappa)| T in L_{kappa^+,omega}}.

研究动机与目标

• 分析 $L_{\kappa^+, \omega}$-理论中与无穷序性质相关的汉夫数的行为。
• 定义并研究诸如 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 和 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 的基数和序数取值函数，这些函数推广了经典汉夫数。
• 确定所有大小不超过 $\kappa$ 的理论 $T$ 在 $L_{\kappa^+, \omega}$ 中的 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 的上确界，特别是当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时。
• 阐明公式具有 $\phi$-序性质的存在性与在更高基数上存在 $L_{\kappa^+, \omega}$ 中具有 $\phi'$-序性质的公式之间的关系。
• 建立 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 的上界，证明当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，其值至多为 $2^{\kappa}$。

提出的方法

• 将 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 定义为最小的 $\mu^*$，使得若理论 $T$ 对某个 $\phi \in L_{\infty, \omega}$ 满足 $\text{rk}(\phi) < \gamma$ 时具有 $\phi$-序性质，则存在公式 $\phi' \in L_{\kappa^+, \omega}$，使得 $T$ 在每个 $\chi \geq \kappa$ 上均具有 $\phi'$-序性质。
• 引入 $\mu^*(\gamma, \kappa) = \sup_T \mu_T^*(\gamma, \kappa)$，其中 $T$ 取遍所有大小不超过 $\kappa$ 的 $L_{\kappa^+, \omega}$ 理论。
• 使用模型论技术，包括类型空间和饱和性，分析无穷逻辑中序性质的存在性。
• 应用组合与集合论方法来界定汉夫型函数，特别是利用语言的大小和公式的秩。
• 证明当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，有 $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$，利用 $L_{\kappa^+, \omega}$-公式数量被 $2^{\kappa}$ 有界这一事实。
• 分析不同秩的公式及其序性质之间的关系，重点关注序性质在不同基数间的传递性。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有满足 $T \subseteq L_{\kappa^+, \omega}$ 且 $|T| \leq \kappa$ 的理论 $T$ 的 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 的上确界是多少？
• RQ2 当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，汉夫数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 和 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 如何表现？
• RQ3 在什么条件下，$L_{\infty, \omega}$ 中存在 $\phi$-序性质可推出在所有基数 $\chi \geq \kappa$ 上存在 $L_{\kappa^+, \omega}$ 中的 $\phi'$-序性质？
• RQ4 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 是否能被 $\kappa$ 的某个函数上界控制？若是，最紧的上界是什么？
• RQ5 公式 $\phi$ 的秩与关联于它的汉夫数 $\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 之间有何关系？

主要发现

• 当所有 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，函数 $\mu^*(\gamma, \kappa)$ 的上界为 $2^{\kappa}$，确立了一个精确的上界。
• 对于任意大小不超过 $\kappa$ 的理论 $T \subseteq L_{\kappa^+, \omega}$，当 $\gamma \geq \kappa^+$ 时，$\mu_T^*(\gamma, \kappa)$ 是良定义且有限的。
• 若某理论 $T$ 对某个 $\phi \in L_{\infty, \omega}$ 满足 $\text{rk}(\phi) < \gamma$ 时具有 $\phi$-序性质，则存在公式 $\phi' \in L_{\kappa^+, \omega}$，使得 $T$ 在每个 $\chi \geq \kappa$ 上均具有 $\phi'$-序性质。
• $\phi'$ 的构造依赖于 $\phi$ 的秩和复杂度，且其存在性由 $L_{\kappa^+, \omega}$ 的可定义性与闭包性质保证。
• 上界 $\mu^*(\gamma, \kappa) \leq 2^{\kappa}$ 是最优的，即在无额外集合论假设下无法进一步改进。
• $\mu_T^*$ 和 $\mu^*$ 函数提供了一套汉夫数的层级结构，通过引入公式的秩和逻辑的无穷性，对经典汉夫数进行了细化。