[论文解读] On harmonic analysis of spherical convolutions on semisimple Lie groups

Olufemi O. Oyadare|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文将球面卷积作为具有有限中心的连通半单李群上哈里什-钱德拉变换的推广，通过新的普朗什雷尔公式确立其在调和分析中的作用。关键贡献是建立了 $ L^2(G//K) $ 与 $ L^2(\frak{F}^1, d\tilde{u}_{x,\lambda})^\mathfrak{w} $ 之间的酉同构，其中普朗什雷尔测度通过哈里什-钱德拉 $ c $-函数和球面傅里叶变换显式计算得出。

ABSTRACT

This paper contains a non-trivial generalization of the Harish-Chandra transforms on a connected semisimple Lie group $G,$ with finite center, into what we term spherical convolutions. Among other results we show that its integral over the collection of bounded spherical functions at the identity element $e \in G$ is a weighted Fourier transforms of the Abel transform at $0.$ Being a function on $G,$ the restriction of this integral of its spherical Fourier transforms to the positive-definite spherical functions is then shown to be (the non-zero constant multiple of) a positive-definite distribution on $G,$ which is tempered and invariant on $G=SL(2,\mathbb{R}).$ These results suggest the consideration of a calculus on the Schwartz algebras of spherical functions. The Plancherel measure of the spherical convolutions is also explicitly computed.

研究动机与目标

• 通过在半单李群上引入一类新函数——球面卷积，推广哈里什-钱德拉变换。
• 在 $ L^2(G//K) $ 与球面基本函数空间上的加权 $ L^2 $ 空间之间建立酉同构。
• 显式计算球面卷积的普朗什雷尔测度，其表达式涉及哈里什-钱德拉 $ c $-函数和球面傅里叶变换。
• 探讨球面卷积与 $ G $ 上温和的、不变的分布之间的关系，特别关注 $ G = SL(2,\mathbb{R}) $ 的情形。
• 为基于球面博赫纳定理和普朗什雷尔理论的球面函数的施瓦茨代数上的微积分奠定基础。

提出的方法

• 将球面卷积定义为 $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f = (f * \varphi_\lambda)(x) $，其中 $ f \in \mathcal{C}^p(G//K) $ 且 $ \varphi_\lambda $ 为球面函数。
• 利用球面傅里叶变换 $ \widehat{f}(\lambda) = \int_A f(a) e^{\lambda(\log a)} da $ 将 $ f $ 与其在 $ \frak{F}^1 $（基本球面函数空间）上的变换关联起来。
• 通过测度 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)|^{-2} d\mu(\lambda) $ 建立普朗什雷尔公式，该测度为球面博赫纳测度的归一化形式。
• 证明映射 $ f \mapsto \widehat{\mathcal{H}_{x,\lambda}f} $ 是从 $ L^2(G//K) $ 到 $ L^2(\frak{F}^1, d\zeta_{x,\lambda})^\mathfrak{w} $ 的酉同构，利用已知的普朗什雷尔理论及 $ \widehat{\varphi_\lambda} $ 的性质。
• 显式计算普朗什雷尔测度为 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\mathfrak{w}|^{-1} |\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)|^{-2} |c(\lambda)|^{-2} d\mu(\lambda) $，其中 $ c(\lambda) $ 为哈里什-钱德拉 $ c $-函数。
• 利用 $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ 的威尔群不变性，以及 $ G = KAN $ 和 $ G = K \cdot \overline{A^+} \cdot K $ 的结构，分析在 $ x = e $ 和 $ \lambda = 0 $ 处卷积的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将哈里什-钱德拉变换推广到半单李群上更广类别的函数？
• RQ2 球面卷积 $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ 作为 $ G $ 上的函数，其结构是怎样的？它与球面傅里叶变换有何关系？
• RQ3 在何种条件下，球面卷积的普朗什雷尔测度会退化为 $ G $ 上的经典普朗什雷尔测度？
• RQ4 球面卷积的普朗什雷尔测度 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $ 的精确形式是什么？它如何依赖于 $ c $-函数和球面傅里叶变换？
• RQ5 球面卷积在单位元 $ x = e $ 处的行为如何？这对其与阿贝尔变换及 $ \Xi $-函数的关系有何启示？

主要发现

• 球面卷积 $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ 在 $ \mathcal{P} $ 上有定义，具有威耳群不变性，其球面傅里叶变换的积分为非零常数倍的 $ T[\varphi_\lambda] $，其中 $ T $ 为正定分布。
• 证明了球面卷积 $ \mathcal{H}_{x,\lambda}f $ 的球面傅里叶变换在 $ \mathcal{P} $ 上的积分为正定、温和且 $ G $-不变的分布，适用于 $ SL(2,\mathbb{R}) $。
• 建立了球面卷积的普朗什雷尔公式：$ \int_G |f(y)|^2 dy = \int_{\frak{F}^1} |\widehat{\mathcal{H}_{x,\lambda}f}(\nu)|^2 d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $，其中 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = \left|\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)\right|^{-2} d\mu(\lambda) $。
• 显式计算出球面卷积的普朗什雷尔测度为 $ d\zeta_{x,\lambda}(\nu) = |\mathfrak{w}|^{-1} \left|\widehat{\varphi_\lambda}(\nu)\right|^{-2} \left|c(\lambda)\right|^{-2} d\mu(\lambda) $，从而将其与哈里什-钱德拉 $ c $-函数联系起来。
• 当 $ x = e $ 时，球面卷积退化为 $ \mathcal{H}_{e,\lambda}f = \widehat{f}(\lambda) $，恢复经典球面傅里叶变换，并将新框架与已知调和分析联系起来。
• 球面卷积变换的逆由波包公式给出：$ (\mathcal{H}_{x,\lambda}f)^{-1}(b)(y) = \int_{\frak{F}^1} b(\lambda) \varphi_\lambda(y) d\zeta_{x,\lambda}(\nu) $，该公式在 $ L^2 $ 中构成一个归一化的精确波包。