[论文解读] On harmonic numbers and nonlinear Euler sums

Ce Xu, Yulin Cai|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 41被引用 4

一句话总结

本文提出了涉及调和数、斯特林数和贝尔数乘积的非线性欧拉和的新解析表示及显式计算。通过积分表示和生成函数，作者得到了权重 ≤ 5 的欧拉和的闭式表达，用黎曼ζ函数值和多对数函数表示，为几类欧拉相关和提供了新的显式公式。

ABSTRACT

In this paper we are interested in Euler-type sums with products of harmonic numbers, Stirling numbers and Bell numbers. We discuss the analytic representations of Euler sums through values of polylogarithm function and Riemann zeta function. Moreover, we provide explicit evaluations for almost all Euler sums with weight 5, which can be expressed in terms of zeta values and polylogarithms. Furthermore, we give explicit formula for several classes of Euler-related sums in terms of zeta values and harmonic numbers, and several examples are given. The given representations are new.

研究动机与目标

• 开发涉及调和数、斯特林数和贝尔数的欧拉和的解析表示。
• 以黎曼ζ函数值和多对数函数表示权重 ≤ 5 的欧拉和的显式计算。
• 利用积分恒等式和生成函数，推导几类欧拉相关和的新闭式表达。
• 将先前关于欧拉和可约性的结果扩展到更高权重和更复杂结构。
• 探索欧拉和、多重ζ值与调和数恒等式之间的联系。

提出的方法

• 利用包含β函数的积分表示和调和数的生成函数。
• 应用围道积分法与级数展开，将和式与多对数函数及ζ函数关联。
• 使用贝尔多项式与斯特林数的生成函数，将和式表达为闭式。
• 通过相乘生成函数并在单位区间 (0,1) 上积分，推导关键恒等式。
• 使用部分分式分解与递推求和技巧，简化双重与三重和式。
• 应用已知的带偏移分母 (n + r)(n + k) 的欧拉型和的计算结果，推导新恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将包含调和数与 n 的幂乘积的非线性欧拉和表示为ζ函数值与多对数函数的组合？
• RQ2 权重 ≤ 5 的欧拉和的显式闭式计算是什么？
• RQ3 如何将包含斯特林数与贝尔数的和与调和数恒等式关联？
• RQ4 欧拉和与多重ζ（星）值之间的结构关系是什么？
• RQ5 能否为包含交错调和数与偏移分母的和式推导新恒等式？

主要发现

• 所有权重 ≤ 5 的欧拉和均以ζ函数值和多对数函数显式计算。
• 本文为如 $ S_{112224,q} $ 这类和式提供了新闭式表达，其涉及不同阶调和数的乘积。
• 推导出如 $ extstylerac{H_n^{(m_1)}H_n^{(m_2)} - H_n^{(m_1+m_2)}}{(n+r)(n+k)} $ 等和式的显式公式，表明其对参数具有有理依赖性。
• 作者通过积分变换建立了关于交错调和数和式（包括 $ ar{H}_n^{(m)} $）的新恒等式。
• 给出了形如 $ extstylerac{f(n)}{n^p(n+j)} $ 的和式的一般公式，从而实现高阶和式的递归计算。
• 结果扩展了先前工作，表明所有权重为10和11的欧拉和均可约化为ζ函数值与特定和式（如 $ S_{2,6} $）的有理线性组合。