[论文解读] On Harmonic $ u$-Bloch and $ u$-Bloch-type mappings

Gang Liu, Saminathan Ponnusamy|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2017

Analytic and geometric function theory被引用 8

一句话总结

本文引入了调和 $ν$-Bloch型映射作为调和 $ν$-Bloch映射的推广，并为这些映射建立了次序原理。推导了在 $β^{*}_{H}(\nu)$ 和 $β_{H}(\nu)$ 中保向调和映射的 $p$-Bohr半径，表明该半径依赖于原点处的伸长率和参数 $\nu$，并通过积分估计和超几何函数得到了显式界。

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. One is to introduce the class of harmonic $\ u$-Bloch-type mappings as a generalization of harmonic $\ u$-Bloch mappings and thereby we generalize some recent results of harmonic $1$-Bloch-type mappings investigated recently by Efraimidis et al. \\cite{EGHV}. The other is to investigate some subordination principles for harmonic Bloch mappings and then establish Bohr's theorem for these mappings and in a general setting, in some cases.

研究动机与目标

• 通过引入调和 $ν$-Bloch型映射类，推广调和 $ν$-Bloch映射。
• 研究在空间 $β_{H}(1)$ 和 $β^{*}_{H}(1)$ 中调和Bloch映射的次序原理。
• 确定在 $β_{H}(\nu)$ 和 $β^{*}_{H}(\nu)$ 中保向调和映射的 $p$-Bohr半径。
• 在保向条件下，建立 $β^{*}_{H}(\nu)$ 中映射的生长与系数估计。

提出的方法

• 通过半范数 $\beta^{*}_{\nu}(f) = \sup_{z\in\mathbb{D}} (1-|z|^2)^\nu \sqrt{|J_f(z)|} < \infty$ 定义调和 $\nu$-Bloch型映射。
• 利用解析函数 $h$ 和 $g$ 的典范分解 $f = h + \overline{g}$，并分析雅可比行列式 $J_f = |h'|^2 - |g'|^2$。
• 应用次序技术及涉及超几何函数 $F_k(r)$ 的积分估计，以控制系数级数。
• 通过伪范数 $||f||_{\mathcal{B}^{*}_{H}(\nu)}$ 和伸长率 $\omega_f(0)$，推导 $|a_0| + \sum_{n=1}^\infty (|a_n|^p + |b_n|^p)^{1/p} r^n$ 的界。
• 通过求解涉及 $r$、$\nu$、$p$ 和 $|\omega_f(0)|$ 的超越方程，建立 $p$-Bohr半径。
• 利用条件 $|g'| < |h'|$（保向性）控制增长，并确保 $p$-级数在半径 $r$ 内收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\nu$-Bloch型条件将调和 $\nu$-Bloch映射推广为更广泛的映射类？
• RQ2 调和映射在空间 $\mathcal{B}_H(1)$ 和 $\mathcal{B}^{*}_H(1)$ 中受何种次序原理支配？
• RQ3 在 $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 中，保向调和映射的 $p$-Bohr半径的确切值或界是什么？
• RQ4 该 $p$-Bohr半径如何依赖于伸长率 $\omega_f(0)$ 和参数 $\nu$？

主要发现

• 对于 $f \in \mathcal{B}^{*}_H(\nu)$，满足 $||f||_{\mathcal{B}^{*}_H(\nu)} \leq 1$ 且保向的情形，$p$-Bohr半径被界定为 $\max\{r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|), r_2(k,p,|\omega_f(0)|)\}$，当 $\nu \in (k/2, (k+1)/2]$ 时成立。
• 半径 $r_1(\nu,p,|\omega_f(0)|)$ 是方程 $3(1-|\omega_f(0)|)(1-r^2)^{2\nu+1} - M_p \pi^2 (1+|\omega_f(0)|) r^2 = 0$ 在 $(0,1)$ 内的唯一解，其中 $M_p = \max\{2^{2/p-1}, 1\}$。
• 半径 $r_2(k,p,|\omega_f(0)|)$ 是方程 $2M_p(1+|\omega_f(0)|)r F_{k+1}(r) - (1-|\omega_f(0)|)(1-r) = 0$ 的唯一解，其中 $F_k(r)$ 是本文中定义的超几何函数。
• 当 $\nu=1$ 时，$f_t(z) = h_t(z) + \overline{g_t(z)}$ 且 $|\omega_f(0)| = t$ 的 $p$-Bohr半径在 $t \to 1^{-}$ 时趋近于 0，表明其对伸长率有强依赖性。
• $\mathcal{B}^{*}_H(\nu)$ 对任意 $\nu > 0$ 均非线性空间，尽管其包含 $\mathcal{B}_H(\nu)$ 作为真子集。
• 对于 $f \in \mathcal{B}(\nu)$，$p$-Bohr半径被界定为 $r_1(\nu,p)$，其由与一般情况相同的方程导出，其中 $|\omega_f(0)| = 0$。