[论文解读] On Harnack inequalities and singularities of admissible metrics in the Yamabe problem

Neil S. Trudinger, Xu‐Jia Wang|ArXiv.org|Sep 15, 2005

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文在紧致黎曼流形上，针对 $n \geq 3$ 且 $n/2 < k \leq n$ 的情形，建立了 $k$-可接受度量在 $k$-Yamabe 问题中的精确 Harnack 不等式与紧致性，证明了 Yamabe 类型非线性共形曲率方程解的存在性与唯一性结果。通过将变分法与度理论方法拓展至非变分设定，解决了 $k > n/2$ 时 $k$-Yamabe 问题的可解性问题。

ABSTRACT

In this paper we study the local behaviour of admissible metrics in the k-Yamabe problem on compact Riemannian manifolds $(M, g_0)$ of dimension $n\ge 3$. For $n/2 n/2$.

研究动机与目标

• 在 $n/2 < k \leq n$ 时，为非共形等价于 $S^n$ 的流形上的 $k$-可接受度量建立精确 Harnack 不等式。
• 对 $\mathbb{R}^n$ 上的 $k$-可接受度量的奇点进行分类，并确定其 Hölder 正则性。
• 证明共形 $k$-Hessian 方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$（$p \neq k$）解的存在性与唯一性。
• 将 $k$-Yamabe 问题的可解性结果拓展至变分框架之外，特别是针对 $k > n/2$ 的情形。
• 建立一个度理论框架，用于在非线性项满足一般增长条件时证明解的存在性。

提出的方法

• 推导出非共形等价于 $S^n$ 的流形上 $k$-可接受度量的精确 Harnack 不等式形式 $\max \chi(x)/\chi(y) \leq \exp(C|x-y|^{2-n/k})$。
• 利用弱 Harnack 不等式与 $v = \chi^{(n-2)/4}$ 的次调和性，证明集合 $\{\chi = \infty\}$ 的测度为零。
• 将 $\mathbb{R}^n$ 上 $k$-可接受度量的奇点分类为点奇点型爆破 $g = C|x-x_0|^{-4}g_0$ 或具有指数 $\alpha = 2 - n/k$ 的 Hölder 连续共形因子。
• 对共形 $k$-Hessian 方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ 应用度理论与先验估计，通过从 $t=0$ 到 $t=t^*$ 的同伦论证。
• 利用最大值原理与上下解技术控制解的统一有界性，并确保在 $t^*$ 处存在解。
• 通过将 $t^{-k}\varphi(x,t)$ 的渐近行为与线性化问题的特征值 $\theta$ 进行比较，放松对 $\varphi(x,t)$ 的条件限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n/2 < k \leq n$ 且 $(M,g_0)$ 不共形等价于 $S^n$ 时，$k$-可接受度量的精确 Harnack 不等式是什么？
• RQ2 当 $k > n/2$ 时，$\mathbb{R}^n$ 上 $k$-可接受度量可能的奇点类型有哪些？
• RQ3 $k$-Yamabe 问题是否对非变分非线性项 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$（$p \neq k$）存在解？
• RQ4 当 $M$ 共形等价于 $S^n$ 时，是否存在性与唯一性结果可被推广？
• RQ5 对 $\varphi(x,t)$ 何种条件可保证 $\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ 存在多个解？

主要发现

• 当 $n/2 < k \leq n$ 且 $(M,g_0)$ 不共形等价于 $S^n$ 时，集合 $[g_0]_k$ 在 $C^0(M)$ 中是紧致的，并满足精确 Harnack 不等式 $\max \chi(x)/\chi(y) \leq \exp(C|x-y|^{2-n/k})$。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上，任意 $k$-可接受度量要么具有形式 $g = C|x-x_0|^{-4}g_0$ 的点奇点，要么具有指数 $\alpha = 2 - n/k$ 的 Hölder 连续共形因子。
• 对任意光滑正函数 $f$ 与 $p \neq k$，当 $n/2 < k \leq n$ 且 $[g_0]_k \neq \emptyset$ 时，方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$ 存在正解。
• 当 $p < k$ 时，方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = f v^p$ 的解是唯一的；当 $p = k$ 时，存在唯一的正数 $\theta$，使得方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = \theta f v^k$ 的解在缩放意义下唯一。
• 若 $\varphi(x,t)$ 满足 $\lim_{t \to \infty} t^{-k}\varphi(x,t) > \theta$ 且 $\lim_{t \to 0} t^{-k}\varphi(x,t) < \theta$，则存在 $t^* > 0$，使得当 $t < t^*$ 时方程 $\sigma_k(\lambda(V)) = t \varphi(x,v)$ 至少有两个解，当 $t = t^*$ 时有一个解，当 $t > t^*$ 时无解。
• 结果可推广至非线性项依赖于 $\nabla v$ 的情形，且通过特征值 $\theta$ 作为阈值，可放松 (4.11) 与 (4.13) 中的增长条件。