[论文解读] On heights of motives with semistable reduction

Teruhisa Koshikawa|arXiv (Cornell University)|May 7, 2015

Mathematics and Applications参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文将法尔廷斯关于阿贝尔簇的有限性与有界性结果推广至数域上具有整系数的纯动机，利用整 p-进霍奇理论定义了一个在同源下不变的高函数。关键贡献在于证明：与一个具有处处半稳定约化且固定的动机同源的动机的高集合是有限的，从而为动机建立了一个类似于法尔廷斯定理的基础有限性性质。

ABSTRACT

We study heights of motives with integral coefficients over number fields introduced by Kato. It is a generalization of the Faltings height of an abelian variety and we establish generalizations of some properties of the Faltings height in our context as conjectured by Kato. This sheds some light on integral structures of motives.

研究动机与目标

• 将法尔廷斯关于阿贝尔簇的有限性与有界性定理推广至具有整系数的纯动机。
• 通过整 p-进霍奇理论，为具有半稳定约化的动机定义一个在同源下不变的高函数。
• 建立动机同源类的有界性结果，类比于法尔廷斯对阿贝尔簇的有界性定理。
• 将高函数理论与霍奇结构的变体及族上的有限性结果相联系。
• 探讨有界性结果对算术几何中主要猜想（包括塔特猜想、沙法列维奇猜想及格罗滕迪克标准猜想 D）的启示。

提出的方法

• 采用桂田和也对纯 Z-动机的高函数定义，并通过整 p-进霍奇理论进行修正，以确保其整性与在同源下的不变性。
• 利用内部与外部整 p-进霍奇理论来定义与分析高函数，其中外部理论将代数定义与几何族联系起来。
• 使用扭结基辛模作为雷纳德对法尔廷斯论证的改进中有限平坦群概形的替代品，以控制保持高函数的同源。
• 运用对数光滑退化与霍奇结构变体的理论，研究曲线上及更高维基底上动机族。
• 通过分析伽罗瓦表示及其在同源下的稳定性，建立同源类大小的有效有界性。
• 依赖半稳定约化条件，以确保在 de Rham 上同调中存在典范整结构，从而实现高函数的计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 法尔廷斯对阿贝尔簇的有限性与有界性定理能否推广至具有整系数的纯动机？
• RQ2 具有半稳定约化的动机的高函数在同源下是否不变？这一性质能否用于控制同源类的大小？
• RQ3 在具有对数光滑退化的拟射影曲线参数化的动机族中，高函数如何表现？
• RQ4 霍奇结构的变体在多大程度上限制了此类族中具有有界高函数的有理点数量？
• RQ5 有界性结果对算术几何中的主要猜想（如塔特猜想与沙法列维奇猜想）有何启示？

主要发现

• 与一个在处处具有半稳定约化的固定动机同源的纯 Z-动机的高集合是有限的，从而证明了桂田的有界性猜想。
• 建立了同源类大小的有效有界性，使有限性结果具有计算可及性。
• 当同源保持整 p-进霍奇结构时，动机的高函数在同源下不变，这是关键的技术结果。
• 对于具有非等构霍奇结构变体的拟射影光滑曲线上的动机族，仅有有限多个有理点可产生有界高函数的动机。
• 有界性结果表明，动机的有限性猜想蕴含塔特猜想、半单性猜想与沙法列维奇猜想。
• 在具有复乘且奇数权重的模形式动机的情形下，高函数有界，支持了桂田关于离散模空间的推测。