[论文解读] On higher-order Courant brackets

Yunhe Sheng|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文在 $m$-维流形上引入了直和丛 $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上的高阶 Courant 对括号，证明了 $(n+1)$-张量场 $\pi$ 的图在括号下封闭当且仅当 $\pi$ 是 Nambu-Poisson 结构，此时在 $\wedge^nT^*\!M$ 上诱导出一个 Leibniz 李代数胚。类似地，$(n+1)$-形式 $\omega$ 的图封闭当且仅当 $\omega$ 是 $n$ 阶预多重辛结构，此时在 $\wedge^nT^*\!M$ 的可接受子丛 $A \subset \wedge^nT^*\!M$ 上诱导出一个李代数胚，且 2-辛结构可导出 Baez 等人提出的李 2-代数结构。

ABSTRACT

In this paper, we study the algebraic properties of the higher analogues of Courant algebroid structures on the direct sum bundle $TM\oplus\wedge^nT^*M$ for an $m$-dimensional manifold. As an application, we revisit Nambu-Poisson structures and multisymplectic structures. We prove that the graph of an $(n+1)$-vector field $\pi$ is closed under the higher-order Dorfman bracket iff $\pi$ is a Nambu-Poisson structure. Consequently, there is an induced Leibniz algebroid structure on $\wedge^nT^*M$. The graph of an $(n+1)$-form $\omega$ is closed under the higher-order Dorfman bracket iff $\omega$ is a premultisymplectic structure of order $n$, i.e. $\dM\omega=0$. Furthermore, there is a Lie algebroid structure on the admissible bundle $A\subset\wedge^{n}T^*M$. In particular, for a 2-plectic structure, it induces the Lie 2-algebra structure given in \cite{baez:classicalstring}.

研究动机与目标

• 将 $m$-维流形上的 Courant 李代数胚结构推广至 $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上的高阶类比结构。
• 阐明高阶 Dorfman 对括号在 $(n+1)$-张量场图上封闭的代数条件。
• 建立 $(n+1)$-向量场图的封闭性与 Nambu-Poisson 结构之间的对应关系。
• 将该框架扩展至 $(n+1)$-形式，识别出预多重辛结构为封闭条件。
• 通过诱导的李代数胚结构，从 2-辛形式中恢复已知结构（如李 2-代数）。

提出的方法

• 通过 Schouten-Nijenhuis 对括号与收缩运算，在丛 $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上定义高阶 Dorfman 对括号。
• 分析 $(n+1)$-向量场 $\pi$ 的图在高阶 Dorfman 对括号下的封闭条件。
• 证明封闭性成立当且仅当 $\pi$ 满足 Nambu-Poisson 条件，即 Schouten-Nijenhuis 对括号 $[\pi, \pi]_{SN} = 0$。
• 通过 $(n+1)$-形式 $\omega$ 满足 $\mathrm{d}_M\omega = 0$ 的条件，引入 $n$ 阶预多重辛结构的概念，其中 $\mathrm{d}_M$ 为 de Rham 微分。
• 从 $\omega$ 的收缩核构造可接受子丛 $A \subset \wedge^nT^*M$，该子丛继承李代数胚结构。
• 证明当 $n=2$ 时，$A$ 上的诱导李代数胚结构可恢复 Baez 等人在经典弦理论背景下先前构造的李 2-代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $TM \oplus \wedge^nT^*M$ 上，$(n+1)$-向量场 $\pi$ 的图在高阶 Dorfman 对括号下封闭的条件是什么？
• RQ2 $(n+1)$-形式 $\omega$ 的图的封闭性与多重辛或预多重辛形式等几何结构有何关联？
• RQ3 当 $(n+1)$-张量场的图在高阶 Dorfman 对括号下封闭时，$\wedge^nT^*M$ 上会诱导出何种代数结构？
• RQ4 高阶 Courant 对括号框架是否能在 2-辛形式情形下恢复已知的李 2-代数结构？
• RQ5 Nambu-Poisson 结构与 $\wedge^nT^*M$ 上的 Leibniz 李代数胚结构之间的确切关系为何？

主要发现

• $(n+1)$-向量场 $\pi$ 的图在高阶 Dorfman 对括号下封闭当且仅当 $\pi$ 是 Nambu-Poisson 结构。
• 该封闭条件在丛 $\wedge^nT^*M$ 上诱导出 Leibniz 李代数胚结构。
• $(n+1)$-形式 $\omega$ 的图在高阶 Dorfman 对括号下封闭当且仅当 $\omega$ 是 $n$ 阶预多重辛结构，即 $\mathrm{d}_M\omega = 0$。
• 对于此类预多重辛形式 $\omega$，存在一个可接受子丛 $A \subset \wedge^nT^*M$，其上具有李代数胚结构。
• 当 $n=2$ 时，$A$ 上诱导的李代数胚结构可恢复 Baez 等人在经典弦理论背景下先前构造的李 2-代数结构。
• 该框架将经典 Courant 李代数胚理论推广至高阶张量场与形式，统一了 Nambu-Poisson 与多重辛几何，纳入单一括号形式体系。