[论文解读] On Higher-Order Fourier Analysis over Non-Prime Fields

Arnab Bhattacharyya, Abhishek Bhowmick|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 42被引用 3

一句话总结

该论文将高阶傅里叶分析扩展至非素数有限域，从而在编码理论与复杂性理论中实现了新的算法与结构性结果。它证明了在任意有限域上，广义Reed-Muller码的列表译码半径等于其最小距离，给出了在任意有限域上多项式分解的多项式时间算法，并建立了局部刻画的仿射不变性质的可测试性。

ABSTRACT

Higher-order Fourier analysis, developed over prime fields, has been recently used in different areas of computer science, including list decoding, algorithmic decomposition and testing. We extend the tools of higher-order Fourier analysis to analyze functions over general fields. Using these new tools, we revisit the results in the above areas. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we show that the list decoding radius of the generalized Reed Muller code over $\mathbb{K}$ equals the minimum distance of the code. Previously, this had been proved over prime fields [BL14] and for the case when $|\mathbb{K}|-1$ divides the order of the code [GKZ08]. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we give a polynomial time algorithm to decide whether a given polynomial $P: \mathbb{K}^n o \mathbb{K}$ can be decomposed as a particular composition of lesser degree polynomials. This had been previously established over prime fields [Bha14, BHT15]. * For any fixed finite field $\mathbb{K}$, we prove that all locally characterized affine-invariant properties of functions $f: \mathbb{K}^n o \mathbb{K}$ are testable with one-sided error. The same result was known when $\mathbb{K}$ is prime [BFHHL13] and when the property is linear [KS08]. Moreover, we show that for any fixed finite field $\mathbb{F}$, an affine-invariant property of functions $f: \mathbb{K}^n o \mathbb{F}$, where $\mathbb{K}$ is a growing field extension over $\mathbb{F}$, is testable if it is locally characterized by constraints of bounded weight.

研究动机与目标

• 将高阶傅里叶分析工具扩展至一般有限域，而不仅限于素数域。
• 解决关于任意有限域上广义Reed-Muller码的列表译码半径的Conjecture 1.1。
• 为任意有限域上将多项式分解为低次多项式复合形式提供多项式时间算法。
• 证明对于任意固定的有限域K，所有关于函数K^n → K的局部刻画的仿射不变性质均可实现单边误差可测试性。
• 在有界权重局部约束下，将仿射不变性质的可测试性扩展至固定基域F的不断增长的域扩张K。

提出的方法

• 将高阶傅里叶分析工具——特别是Gowers均匀性范数与正则性引理——适配至一般有限域，而不仅限于素数域。
• 采用基于超平面限制与限制下秩保持性的递归分解策略，证明当限制在超平面上时，秩最多下降q。
• 通过将算法化列表译码归约为组合列表译码，利用关于多项式表示的新结构性结果。
• 通过Bhowmick、Lovett与Tulsiani的算法，采用句法正则性引理，将函数正则化为非素数域上的结构化因子。
• 引入一种递归算法，通过固定一个不出现在任何低次因子中的变量来减少变量数量，然后通过迹映射与域嵌入提升解。
• 利用多变量多项式类型的Schwartz-Zippel引理，证明若一个函数在大集合上与某结构形式一致，则其必与某些变量无关，从而实现结构恢复。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Reed-Muller码RM_K(n,d)在任意有限域K上的列表译码半径是否等于其最小距离δ_K(d)，如先前仅在素数域上被证明？
• RQ2 能否在任意有限域上以多项式时间决定多项式P: K^n → K是否可分解为低次多项式的复合形式？
• RQ3 所有关于函数f: K^n → K的局部刻画的仿射不变性质是否均可实现单边误差可测试性，即使K不是素数域？
• RQ4 当K是固定素数域F的不断增长的域扩张时，仿射不变性质的可测试性是否可在有界权重局部约束下得以扩展？
• RQ5 在非素数域中，多项式在限制到超平面上时其秩如何变化？该行为是否可用于在高阶傅里叶分解中保持正则性？

主要发现

• 在任意有限域K上，广义Reed-Muller码RM_K(n,d)的列表译码半径等于其最小距离δ_K(d)，从而解决了Conjecture 1.1。
• 对于任意固定的有限域K，存在一个多项式时间算法，用于判断给定多项式P: K^n → K是否可实现(k,Δ,Γ)-分解为低次多项式。
• 对于任意固定的有限域K，所有关于函数f: K^n → K的局部刻画的仿射不变性质均可实现单边误差可测试性。
• 对于任意固定的有限域F，若一个关于函数f: K^n → F的仿射不变性质在K为F的不断增长的域扩张时，其局部刻画由有界权重约束定义，则该性质是可测试的。
• 在非素数域上，多项式在限制到超平面上时，其秩最多下降q，从而支持在高阶傅里叶分解中实现递归分析。