[论文解读] On higher spin partition functions

M. Beccaria, A.A. Tseytlin|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2015

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文证明，在平坦空间、$τδ_d$ 和共形平坦的 $S^4$ 背景下，所有自旋 $ s = 0,1,2,\dots $ 的自由无质量高自旋场的一圈路径积分生成函数恰好为 1，这是由于物理场与鬼场行列式完全抵消所致。这一 $Z=1$ 结果源于深层的规范对称性，并可推广至共形高自旋理论和共形对称张量理论，表明紫外有限性，并暗示其与拓扑或超对称结构之间存在深刻联系。

ABSTRACT

We observe that the partition function of the set of all free massless higher spins s=0,1,2,3,... in flat space is equal to one: the ghost determinants cancel against the "physical" ones or, equivalently, the (regularized) total number of degrees of freedom vanishes. This reflects large underlying gauge symmetry and suggests analogy with supersymmetric or topological theory. The Z=1 property extends also to the AdS background, i.e. the 1-loop vacuum partition function of Vasiliev theory is equal to 1 (assuming a particular regularization of the sum over spins); this was noticed earlier as a consistency requirement for the vectorial AdS/CFT duality. We find that Z=1 is also true in the conformal higher spin theory (with higher-derivative d^{2s} kinetic terms) expanded near flat or conformally flat S^4 background. We also consider the partition function of free conformal theory of symmetric traceless rank s tensor field which has 2-derivative kinetic term but only scalar gauge invariance in flat 4d space. This non-unitary theory has a Weyl-invariant action in curved background and corresponds to "partially massless" field in AdS_5. We discuss in detail the special case of s=2 (or "conformal graviton"), compute the corresponding conformal anomaly coefficients and compare them with previously found expressions for generic representations of conformal group in 4 dimensions.

研究动机与目标

• 研究平坦空间和弯曲空间背景下无限族自由高自旋场的量子路径积分生成函数。
• 理解规范对称性在所有自旋中抵消自由度的作用。
• 在各种高自旋理论（包括共形高自旋和共形对称张量场）中确立 $Z=1$ 性质。
• 验证此 $Z=1$ 结果与已知异常系数及正则化方案的一致性。
• 探索平坦空间中 $Z=1$ 与向量型 AdS/CFT 对偶性及 $S^4$ 上共形场论之间的联系。

提出的方法

• 通过使用对称无迹张量在自旋 $s$ 下的动能算符的函数行列式来计算路径积分生成函数，采用 zeta 函数正则化或维数正则化。
• 对于无质量高自旋（MHS）场，路径积分生成函数表示为横向场上拉普拉斯算符行列式的比值，$ Z_{\text{MHS},s} = \left[ \frac{\det \Delta_{s-1\perp}}{\det \Delta_{s\perp}} \right]^{1/2} $，从而引发望远镜式抵消。
• 在共形高自旋（CHS）理论中，路径积分生成函数由高阶导数 $\partial^{2s}$ 动能项导出，通过正则化对自旋 $s$ 的共形异常系数求和，证明总 $Z_{\text{CHS}}$ 恰好为 1。
• 对于共形对称张量（CST）场，采用二阶导数的 Weyl 不变作用量，利用弯曲空间中的标量规范不变性，通过在 $S^4$ 和 $S^1 \times S^3$ 上的模式分解计算路径积分生成函数。
• 通过谐振子模式计算单粒子路径积分生成函数 $\mathcal{Z}(q)$，其中 $q = e^{-\beta}$，并对所有自旋求和，得到 $Z_{\text{CST}} = \sum_s \mathcal{Z}_s(q)$。
• 通过将 $S^4$ 上的总路径积分生成函数与 $τδ_5$ 中 Vasiliev 理论的 $Z=1$ 性质进行比较，验证了 $Z=1$ 结果，利用关系式 $[Z_{\text{MHS}}(\mathrm{AdS}_5)]_{\text{tot}} = [Z_{\text{CHS}}(S^4)]_{\text{tot}} = 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有自由无质量高自旋场在平坦空间中的一圈总路径积分生成函数是否由于规范对称性抵消而恰好为零？
• RQ2 $Z=1$ 性质如何从平坦空间推广至 $τδ_d$ 和共形平坦的 $S^4$ 背景？
• RQ3 正则化在共形高自旋理论中确保总自由度数为零的过程中起什么作用？
• RQ4 $Z=1$ 结果能否推广至具有标量规范不变性的非幺正共形对称张量场？
• RQ5 CST 场的共形异常系数 $a_s$ 和 $c_s$ 在 4D 中与共形群的一般表示相比如何？

主要发现

• 在平坦空间中，所有自由无质量高自旋场的一圈路径积分生成函数恰好为 $Z=1$，这是由于物理场与鬼场行列式之间的抵消所致。
• 在 $τδ_d$ 中，Vasiliev 理论的 $Z=1$ 性质在特定正则化下成立，与向量型 AdS/CFT 对偶性一致。
• 在 $S^4$ 上的共形高自旋理论中，总路径积分生成函数同样为 $Z=1$，通过维数正则化并匹配具有不同边界条件的 MHS 路径积分生成函数得到验证。
• 在 4D 平坦空间中的共形对称张量场中，总路径积分生成函数再次为 $Z=1$，尽管其非幺正，但其自由度计数与 CHS 场相同。
• CST 场的共形异常系数 $a_s$ 和 $c_s$ 与 $SO(2,4)$ 表示 $(3; s/2, s/2)$ 的一般表达式一致，证实其与共形场论期望的一致性。
• 在 $S^4$ 上，秩-2 CST 场的路径积分生成函数为 $\mathcal{Z}_{\text{CST},2}(q) = \frac{2q^2(8 - q - q^2)}{(1-q)^3}$，经正则化后总 $Z_{\text{CST}}$ 恰好为 1。