[论文解读] On Hilbert's construction of positive polynomials

Bruce Reznick|ArXiv.org|Jul 14, 2007

Mathematics and Applications参考文献 17被引用 42

一句话总结

本文将希尔伯特1888年关于非平方和正多项式构造方法推广，提出一种系统化方法，通过插值与零点集条件生成此类多项式。证明了在更高次齐次三项式与四项式中存在无法表示为平方和的正多项式，显著提高了此类多项式数量的下界。

ABSTRACT

In 1888, Hilbert described how to find real polynomials in more than one variable which take only non-negative values but are not a sum of squares of polynomials. His construction was so restrictive that no explicit examples appeared until the late 1960s. We revisit and generalize Hilbert's construction and present many such polynomials.

研究动机与目标

• 将希尔伯特原始构造方法从其1888年论文中的特定情形推广至更高次多项式情形。
• 识别希尔伯特方法中实现此类多项式构造的内在机制。
• 在更高次形式中生成大量新的显式例子，构造无法表示为平方和的正多项式。
• 在特定次数与变量组合下，改进此类多项式数量的下界。

提出的方法

• 利用下降阶乘多项式 $\phi_{r,s,d}(x,y)$ 进行插值，构造在指定点集上消失的多项式理想的基础函数。
• 应用卡莱尔-巴查拉赫定理，强制在基集之外的额外点上也消失，确保无法表示为平方和。
• 构造一个扰动多项式 $p = f_1^2 + f_2^2 + c \cdot \phi\psi$，其中 $f_1, f_2$ 在某组点上消失，且 $\phi\psi$ 在子集上具有奇点，从而保证正定性与非平方和结构。
• 采用在有限点集 $A$ 上消失的多项式理想 $I_{1,d}(A)$，分析其结构以确保存在正定但非平方和的扰动项。
• 将该方法应用于对称构型，如 $d \times d$ 的整数格点，使用 $g_d(x,y)$ 作为在 $A$ 上奇异、在 $\tilde{A}$ 上正定的扰动项。
• 通过维数计数与不等式分析，证明在 $A$ 上消失的多项式空间及其高阶理想 $I_{2,2d}(A)$ 中包含足够多元素，以支持正定但非平方和的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 希尔伯特关于正定但非平方和多项式的构造方法能否推广至1888年原始案例之外的更高次与更对称的构型？
• RQ2 在何种点集与消失理想条件下，可保证扰动后的平方和为正但其本身并非平方和？
• RQ3 如何系统性地生成三项式与四项式中无法表示为平方和的正多项式的显式例子？
• RQ4 在固定次数与变量数下，此类多项式的数量可建立何种下界？
• RQ5 在基点数量满足何种条件时，希尔伯特方法仍适用于更高次多项式？

主要发现

• 本文构造了显式正多项式，其在次数为 $2d$ 的三项式中无法表示为平方和，且零点具有对称构型，其中 $d \geq 3$。
• 当 $d \geq 3$ 时，多项式 $ (x)_d^2 + (y)_d^2 + c_d (x)_2(y)_2(x+y-2)_{d-1}(x+y-4)_{d-3} $ 为正定且非平方和，且满足 $c_d \to 0$ 当 $d \to \infty$。
• 此类非平方和正多项式的数量满足 $B_{3,2d} \geq \frac{d^2 + 3d - 2}{2}$，对 $2d = 8, 10$ 的情形显著改进了先前的下界。
• 精确计算出次数为6时的常数 $c(3) = 4/3$，表明该方法可实现精确的定量控制。
• 维数估计表明，当 $r \leq d$ 时，空间 $I_{2,2d}(A) \setminus I_{1,d}^2(A)$ 非空，支持希尔伯特方法在更广泛设置中的可行性。
• 该方法适用于满足 $A$ 包含 $\binom{d+2}{2} - 2$ 个处于一般位置的点的情形，且 $\tilde{A}$ 为不在 $A$ 中的点集，其中 $g_d$ 在 $\tilde{A}$ 上正定，在 $A$ 上奇异。