[论文解读] On Hilbert's Tenth Problem

Michael Pfender|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文提出了一种部分 μ-递归决策算法 decis，通过在形式理论 T（扩展皮亚诺算术）中对 nullstelle（解）进行竞赛，同时与内部非零性证明竞争，试图解决希尔伯特第十问题。若 T 是丢番图健全的，则 decis 正确决策丢番图不等式；然而，马蒂亚谢维奇的不可判定性结果表明，T 不可能同时是丢番图健全且完全的，除非 T 不一致，从而导致矛盾。

ABSTRACT

Using an iterated Horner schema for evaluation of diophantine polynomials, we define a partial $μ$-recursive "decision" algorithm decis as a "race" for a first nullstelle versus a first (internal) proof of non-nullity for such a polynomial -- within a given theory T extending Peano Arithmetique PA. If T is diophantine sound, i.e., if (internal) provability implies truth -- for diophantine formulae --, then the T-map decis gives correct results when applied to the codes of polynomial inequalities $D(x_1,...,x_m) eq 0$. The additional hypothesis that T be diophantine complete (in the syntactical sense) would guarantee in addition termination of decis on these formula, i.e., decis would constitute a decision algorithm for diophantine formulae in the sense of Hilbert's 10th problem. From Matiyasevich's impossibility for such a decision it follows, that a consistent theory T extending PA cannot be both diophantine sound and diophantine complete. We infer from this the existence of a diophantine formulae which is undecidable by T. Diophantine correctness is inherited by the diophantine completion T~ of T, and within this extension decis terminates on all externally given diophantine polynomials, correctly. Matiyasevich's theorem -- for the strengthening T~ of T -- then shows that T~, and hence T, cannot be diophantine sound. But since the internal consistency formula Con_T for T implies -- within PA -- diophantine soundness of T, we get that PA derives eg Con_T, in particular PA must derive its own internal inconsistency formula.

研究动机与目标

• 研究在形式理论 T 内部通过内部证明与反例搜索，实现希尔伯特第十问题决策算法的可行性。
• 考察扩展 PA 的理论 T 在何种条件下可同时具备丢番图健全性（证明蕴含真值）与丢番图完备性（所有真丢番图命题均有证明）。
• 证明由于马蒂亚谢维奇的不可判定性结果，这样的理论 T 不可能存在；若假设 T 同时健全且完备，则将导致矛盾。
• 分析在假设丢番图健全性时，通过添加 ¬Con_T 构造的丢番图完备化 T̃ 如何暴露 T 的不一致性。
• 建立在 T̃ 中的内部语义完备性意味着 decis 是总函数且正确，从而与马蒂亚谢维奇定理产生矛盾。

提出的方法

• 定义一个 μ-递归求值映射 ev: ℕ × |ℕ,2|_PR → 2，其作用是根据哥德尔编号与输入计算原始递归谓词的值。
• 将决策映射 decis(p) 构造为两个索引之间的竞赛：μ_ex(p)，即满足 ev(p,n) = 0 的最小 n（反例）；以及 μ_thm(p)，即满足内部定理枚举器 thm_T̃(k) = p 的最小 k（证明）。
• 定义 decis(p) = 0 若反例先被找到，1 若证明先被找到，否则为 ∞。
• 将 T 扩展为 T̃ = T + ¬Con_T，根据哥德尔第二不完备定理，该扩展在 T 相对一致。
• 证明在 T̃ 中具有内部语义完备性：若对所有 n 都有 ev(p,n) = 1，则 p 在 T̃ 中可证，从而确保 decis 在 T̃ 中是总函数。
• 利用马蒂亚谢维奇的结果——即不存在适用于丢番图方程的一般决策程序——若 T 同时是丢番图健全与完备，则将导致矛盾，从而表明 T 必须不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在形式理论 T 内部构造一个 μ-递归决策算法，使其正确决策所有丢番图不等式？
• RQ2 此类决策算法在何种逻辑条件下能够终止并产生正确结果？
• RQ3 是否存在一个一致的、递归公理化的 PA 扩展 T，使其同时具备丢番图健全性与丢番图完备性？
• RQ4 向 T 添加 ¬Con_T 如何影响决策映射 decis 的行为与总函数性？
• RQ5 当内部语义完备性与马蒂亚谢维奇的不可判定性结果结合时，会引发何种矛盾？

主要发现

• 若 T 是丢番图健全的，则在 T̃ = T + ¬Con_T 中，决策映射 decis 是总函数且正确，这是由于 T̃ 的内部语义完备性。
• 若 T 同时是丢番图健全与丢番图完备的，则 decis 将成为丢番图方程的正确且终止的决策程序。
• 马蒂亚谢维奇定理指出，不存在此类一般决策程序，因此 T 不可能同时是丢番图健全与丢番图完备。
• 因此，任何一致的、丢番图健全的 PA 扩展 T 必须不具有丢番图完备性，反之亦然。
• T̃ 对 T 的丢番图完备化继承了丢番图正确性；在 T̃ 中，decis 对所有丢番图多项式均正确终止。
• 由于马蒂亚谢维奇的结果在 T̃ 中成立，且 decis 在 T̃ 中是总函数且正确，因此 T̃（从而 T）不可能是丢番图健全的，结论为：PA 证明了其自身的内部不一致。