[论文解读] On Hoare-McCarthy algebras

J.A. Bergstra, Alban Ponse|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文引入霍尔-麦卡锡代数（HMAs）作为命题逻辑带副作用的新型代数语义，使用霍尔的条件连接符 $x\triangleleft y\triangleright z$ 作为唯一原始操作。它证明了HMAs可直接刻画赋值同余关系，无需依赖中间的赋值等价关系，并证明了对于每个同余关系 $=_{K}$，其中 $K$ 取值于自由、无重复、收缩、弱记忆、记忆及静态语义，其等式理论 $\text{CP}_K$ 是完备的。

ABSTRACT

We discuss an algebraic approach to propositional logic with side effects. To this end, we use Hoare's conditional [1985], which is a ternary connective comparable to if-then-else. Starting from McCarthy's notion of sequential evaluation [1963] we discuss a number of valuation congruences and we introduce Hoare-McCarthy algebras as the structures that characterize these congruences.

研究动机与目标

• 开发一种新的命题逻辑带副作用的语义框架，系统地捕捉求值顺序与副作用。
• 通过引入HMAs的直接语义，解决赋值代数（VA）语义的局限性，即必须先定义赋值等价性才能推导同余关系。
• 使用条件连接符作为原始操作，为多种赋值同余关系——自由、无重复、收缩、弱记忆、记忆和静态——提供完备的等式公理化。
• 阐明不同同余关系之间的关系，并表明HMAs天然支持在不引入中间等价关系的情况下构造同余关系。

提出的方法

• 将霍尔-麦卡锡代数（HMAs）定义为配备三元操作 $x\triangleleft y\triangleright z$ 的代数结构，该操作表示霍尔的条件，满足文献[8]中的公理（CP1–CP4）。
• 通过HMA语义直接引入赋值同余关系 $=_{K}$，避免了在先前基于VA的方法中必须先定义赋值等价关系 $\equiv_{K}$ 的需求。
• 证明对于每类同余关系 $K \in \{fr, rp, cr, wm, mem, st\}$，等式理论 $\text{CP}_K$ 是完备的：$\text{CP}_K \vdash t = t'$ 当且仅当 $t =_K t'$。
• 利用HMA框架与基于VA的语义进行比较，表明HMA语义对赋值变换施加了更强的约束，例如在静态同余下 $a \bullet s = s$ 恒成立。
• 分析在不同同余关系下二元连接符（例如左序合取 $x~{}\mathbin{\text{\textasciibreve{\textbackslash}}\textbackslashwedge}~{}y = y\triangleleft x\triangleright F$）的表达能力，表明它们仅在模 $=_{mem}$ 或 $=_{st}$ 下可表达条件连接符。
• 研究通过弱化公理是否可定义记忆语义，将HMA条件与基于VA的公理进行比较，评估 $\text{CP}_K$ 在此类修改下是否仍保持完备性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不先定义赋值等价性的情况下，为带副作用的命题逻辑构造一种直接的代数语义？
• RQ2 对于每个赋值同余关系 $=_{K}$，其中 $K$ 表示自由、无重复、收缩、弱记忆、记忆或静态语义，等式理论 $\text{CP}_K$ 是否完备？
• RQ3 HMA语义中的赋值变换规则与赋值代数（VAs）中的规则有何不同，特别是在静态和记忆同余的情况下？
• RQ4 在不同同余关系下，能否仅用二元连接符表达条件连接符？如果可以，这在哪些同余关系下是可能的？
• RQ5 在HMA框架中，记忆语义类是否可通过弱化公理来定义？与基于VA的刻画相比有何差异？

主要发现

• 霍尔-麦卡锡代数（HMAs）为带副作用的命题逻辑提供了直接且优雅的语义，其中赋值同余关系通过代数结构直接定义，无需引入中间的赋值等价关系。
• 对于每类同余关系 $K \in \{fr, rp, cr, wm, mem, st\}$，等式理论 $\text{CP}_K$ 是完备的：$\text{CP}_K \vdash t = t'$ 当且仅当 $t =_K t'$，从而为每种语义建立了完整的公理化体系。
• HMA语义揭示了比VA语义更强的赋值变换约束：在静态同余下，$a \bullet s = s$ 恒成立；而在VA语义中，仅当 $a \neq b$ 时才需满足 $a \mathbf{!} (b \bullet s) = a \mathbf{!} s$。
• 条件连接符 $x\triangleleft y\triangleright z$ 无法在模 $=_{cr}$ 下仅用二元连接符表达，但在模 $=_{mem}$ 和 $=_{st}$ 下可以表达，表明存在表达能力的层级关系。
• 本文通过证明某些替代公理化（如 $\text{CP} + \{T\triangleleft x\triangleright T = T\}$）与TRS（项重写系统）语义不一致，否定了这些公理化，凸显了原始CP公理的必要性。
• HMA框架表明，追踪求值历史的记忆语义无法通过将SPA（顺序赋值代数）的公理由方程(19)和(20)弱化来定义，揭示了VA与HMA语义之间更深层次的结构差异。