[论文解读] On Holder-Brascamp-Lieb inequalities for torsion-free discrete Abelian groups

Michael Christ, James Demmel+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 14, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 7被引用 8

一句话总结

本文证明，在无挠离散阿贝尔群上的霍尔德-布拉斯坎普-利布不等式中，当不等式成立时，最优常数恰好为1。论文提出了一种算法来计算允许的指数多面体，并证明计算定义该多面体的所有不等式列表的问题，等价于在有理数域上求解希尔伯特第十问题——该问题至今仍是开放问题。

ABSTRACT

Hölder-Brascamp-Lieb inequalities provide upper bounds for a class of multilinear expressions, in terms of $L^p$ norms of the functions involved. They have been extensively studied for functions defined on Euclidean spaces. Bennett-Carbery-Christ-Tao have initiated the study of these inequalities for discrete Abelian groups and, in terms of suitable data, have characterized the set of all tuples of exponents for which such an inequality holds for specified data, as the convex polyhedron defined by a particular finite set of affine inequalities. In this paper we advance the theory of such inequalities for torsion-free discrete Abelian groups in three respects. The optimal constant in any such inequality is shown to equal $1$ whenever it is finite. An algorithm that computes the admissible polyhedron of exponents is developed. It is shown that nonetheless, existence of an algorithm that computes the full list of inequalities in the Bennett-Carbery-Christ-Tao description of the admissible polyhedron for all data, is equivalent to an affirmative solution of Hilbert's Tenth Problem over the rationals. That problem remains open. Applications to computer science will be explored in a forthcoming companion paper.

研究动机与目标

• 刻画在无挠离散阿贝尔群设定下，霍尔德-布拉斯坎普-利布不等式成立的指数集合。
• 确定此类不等式中的最优常数，证明当其有限时，该常数恒为1。
• 为给定的群数据开发一种算法，以计算允许的指数多面体。
• 研究计算定义多面体的全部不等式列表的逻辑复杂性，并将其与有理数域上的希尔伯特第十问题联系起来。

提出的方法

• 利用有限生成、无挠阿贝尔群之间的群同态 $\phi_j: G \to G_j$ 来定义多重线性表达式。
• 通过子群 $H \leq G$ 上的秩不等式来定义允许的指数集 $\mathcal{P}(\mathfrak{G})$。
• 应用一组由子群秩条件导出的有限个仿射不等式，以描述凸多面体 $\mathcal{P}(\mathfrak{G})$。
• 运用代数几何与模型理论分析有理数域上多项式方程组解的结构。
• 将计算 Bennett-Carbery-Christ-Tao 描述中所有不等式的问题约化为有理数域上多项式方程组解的存在性问题。
• 利用有理数向量空间中的行化简与基构造方法，验证属于由群同态数据定义的代数簇的成员资格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无挠离散阿贝尔群上，霍尔德-布拉斯坎普-利布不等式的最优常数是什么？
• RQ2 能否设计一种算法，计算此类群的允许指数多面体的所有不等式？
• RQ3 计算定义多面体的完整不等式列表的问题是否等价于数论中的一个开放问题？
• RQ4 子群秩条件如何决定允许指数集的结构？
• RQ5 判断给定指数元组是否属于允许多面体的逻辑复杂性如何？

主要发现

• 在无挠离散阿贝尔群上的任何霍尔德-布拉斯坎普-利布不等式中，当不等式成立时，最优常数 $C$ 恰好为1。
• 允许的指数集 $\mathcal{P}(\mathfrak{G})$ 是一个由子群秩条件导出的有限个仿射不等式定义的凸多面体。
• 对于任意给定的阿贝尔群 HBL 数据，存在一种算法可计算多面体 $\mathcal{P}(\mathfrak{G})$。
• 计算 Bennett-Carbery-Christ-Tao 描述中 $\mathcal{P}(\mathfrak{G})$ 的所有不等式完整列表的算法的存在性，等价于有理数域上希尔伯特第十问题的正解。
• 该等价性通过约化到有理数域上多项式方程组的可解性问题建立，其解对应于代数簇上的有理点。
• 本文确认，当且仅当相关有限集不等式 (1.5) 以常数1成立时，该不等式以常数1成立，从而将分析形式与组合形式联系起来。