[论文解读] On holonomy singularities in general relativity and the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spacetimes

Jan Sbierski|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 32被引用 5

一句话总结

本文通过分析无界局部 holonomy（表明引力能量发散），建立了具有弱null奇点的宇宙学及球对称时空在 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 意义下的不可延拓性。证明了即使存在 $C^0$ 延拓，此类时空也无法作为局部Lipschitz度量被延拓，并将强宇宙监督的 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 形式化超越了以往的 $C^2$ 结果。

ABSTRACT

This paper investigates the structure of gravitational singularities at the level of the connection. We show in particular that for FLRW spacetimes with particle horizons a local holonomy, which is related to a gravitational energy, becomes unbounded near the big-bang singularity. This implies the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of such FLRW spacetimes. Again using an unbounded local holonomy we also give a general theorem establishing the $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-inextendibility of spherically symmetric weak null singularities which arise at the Cauchy horizon in the interior of black holes. Our theorem does not presuppose the mass-inflation scenario and in particular applies to the Reissner-Nordström-Vaidya spacetimes as well as to spacetimes which arise from small and generic spherically symmetric perturbations of two-ended subextremal Reissner-Nordström initial data for the Einstein-Maxwell-scalar field system. In [26], [27] Luk and Oh proved the $C^2$-formulation of strong cosmic censorship for this latter class of spacetimes -- and based on their work we improve this to a $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-formulation of strong cosmic censorship.

研究动机与目标

• 通过 holonomy 作为几何不变量，建立具有引力奇点的时空在 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 意义下的不可延拓性。
• 分析广义相对论中宇宙学奇点与弱null奇点附近局部 holonomy 的行为。
• 为球对称时空提供一个适用于 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 不可延拓性的通用判据，且无需假设质量膨胀。
• 将强宇宙监督的 $C^2$ 形式改进为 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 形式，适用于 Reissner-Nordström 时空的微扰。

提出的方法

• 使用局部 holonomy 作为引力能量的度量，表明其在奇点附近趋于无界。
• 应用一个引理，该引理界定了 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 延拓中局部 holonomy 的上界，从而推导出不可延拓性。
• 分析具有粒子视界的共形度规 FLRW 时空，验证尺度因子 $a(t)$ 的条件。
• 考虑在 $(u,v)$-坐标下球对称时空，其中在奇点处 $\partial_v r \to -\infty$ 且 $\partial_u r \to -\infty$。
• 依赖霍金质量与 $\kappa$-函数来控制曲率行为，并验证不可延拓性的条件。
• 利用 Luk 和 Oh 关于 $C^2$-强宇宙监督的结果，将结论升级至 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 holonomy 证明具有粒子视界的 FLRW 时空在 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 意义下不可延拓？
• RQ2 在具有弱null奇点的球对称时空中，无界局部 holonomy 是否意味着 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 不可延拓？
• RQ3 能否将 Reissner-Nordström 时空微扰的 $C^2$-强宇宙监督形式改进为 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$？
• RQ4 在次极端 Reissner-Nordström 初始数据的小型、通用球对称微扰下，$C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$ 不可延拓性结果是否依然稳健？

主要发现

• 具有粒子视界的 FLRW 时空是 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-不可延拓的，其原因在于：当 $\lim_{t\to 0}a(t)=0$，$\int_0^1 \frac{1}{a(t)}dt < \infty$，且 $\int_1^\infty \frac{a(t)}{\sqrt{a(t)^2+1}}dt = \infty$ 时，局部 holonomy 无界。
• 在 $\partial_v r \to -\infty$，$\partial_u r \to -\infty$，且 $r$ 在每个变量上单调的条件下，球对称弱null奇点是 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-不可延拓的。
• $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-不可延拓性结果适用于 Reissner-Nordström-Vaidya 时空，以及未假设质量膨胀的双端次极端 Reissner-Nordström 初始数据的微扰。
• Luk 和 Oh 关于 $C^2$-强宇宙监督的结果被提升为同一类时空的 $C^{0,1}_{\mathrm{loc}}$-形式。
• 在 FLRW 时空的大爆炸奇点附近，局部 holonomy 发散，表明引力能量无界。
• 在球对称黑洞外部，$\kappa$ 有上下界，$\partial_v r > 0$，$\partial_u r < 0$，且 $\partial_u \kappa \leq 0$，确保了不可延拓性的条件成立。