[论文解读] On homogeneous 3-dimensional spacetimes: focus on plane waves

Souheib Allout, Belkacem Abderrahmane+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2022

Advanced Differential Geometry Research被引用 2

一句话总结

本文重新分类了三维洛伦兹齐性时空，重点研究平面波，并证明非单模椭圆平面波既非局部对称，也非三维李群上左不变度量的局部等距。研究证明，这些平面波仅在对称时才可延拓且测地线完备；并确定了唯一具有紧致商的非平坦平面波。

ABSTRACT

We revisit the classification of Lorentz homogeneous spaces of dimension $3$, and relax usual completeness assumptions. In particular, non-unimodular elliptic plane waves, and only them, are neither locally symmetric nor locally isometric to a left-invariant Lorentz metric on a $3$-dimensional Lie group. We characterize homogeneous plane waves in dimension $3$, and prove they are non-extendable, and geodesically complete only if they are symmetric. Finally, only one non-flat plane wave has a compact model.

研究动机与目标

• 在不假设完备性的前提下，重新分类三维洛伦兹齐性时空。
• 解决文献中关于齐性洛伦兹几何中局部等距与全局等距、完备性之间长期存在的问题。
• 表征三维中的平面波，并确定其全局几何性质。
• 识别出哪些齐性时空既非局部对称，也非三维李群上左不变度量的局部等距。
• 确定哪些平面波允许紧致商，并在何种条件下存在此类商。

提出的方法

• 通过半直积 Gρ = R ⋉ Heis 使用海森堡扩张，其中表示 ρ(t) ∈ Aut(Heis)。
• 分析 R 在海森堡代数及其关于中心的商上的作用，以确定不变洛伦兹度量的存在性。
• 应用李理论技术对等距群进行分类，并确定所得时空为对称或局部对称的条件。
• 使用全局坐标系，并通过群作用与轨道结构证明非延拓性。
• 使用罗森坐标与布林克曼坐标，关联不同度量形式并验证平面波结构。
• 应用 [LS16] 和 [KO19] 的结果，排除单模情形下存在紧致商的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些三维齐性洛伦兹时空既非局部对称，也非三维李群上左不变度量的局部等距？
• RQ2 在何种条件下平面波是测地线完备或不可延拓的？
• RQ3 哪些齐性平面波允许紧致商？其唯一的非平坦例子是什么？
• RQ4 平面波的等距群如何与底层群结构 Gρ 相关联？
• RQ5 单模性在决定平面波时空的对称性与完备性方面起什么作用？

主要发现

• 非单模椭圆平面波是唯一既非局部对称，也非三维李群上左不变度量的局部等距的齐性三维洛伦兹时空。
• 所有齐性平面波均不可延拓，且仅当其对称时才测地线完备。
• 仅有一个非平坦平面波允许紧致商，其对应于海森堡代数中具有不动点的非单模表示。
• 平坦但不完备的情形等距于半闵氏时空，对应于群 Aff ⋉ R²。
• 在所有非闵氏情形下，等距群的单位连通分支同构于 Gρ。
• 两个平面波时空 Pρ 与 Pρ′ 等距（或局部等距）当且仅当 Gρ 与 Gρ′ 同构。