[论文解读] On honest times in financial modeling

Ashkan Nikeghbali, Eckhard Platen|ArXiv.org|Aug 21, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于诚实时间（honest times）的模型无关金融建模框架，利用增长最优投资组合（GOP）作为记价单位。该框架推导出与基准非负投资组合全局最大值相关的诚实时间的概率分布和条件分布的通用公式，特别针对 Bessel 过程和扩散过程给出了明确结果，从而在无需等价风险中性测度的前提下，实现稳健的衍生品定价与对冲。

ABSTRACT

This paper demonstrates the usefulness and importance of the concept of honest times to financial modeling. It studies a financial market with asset prices that follow jump-diffusions with negative jumps. The central building block of the market model is its growth optimal portfolio (GOP), which maximizes the growth rate of strictly positive portfolios. Primary security account prices, when expressed in units of the GOP, turn out to be nonnegative local martingales. In the proposed framework an equivalent risk neutral probability measure need not exist. Derivative prices are obtained as conditional expectations of corresponding future payoffs, with the GOP as numeraire and the real world probability as pricing measure. The time when the global maximum of a portfolio with no positive jumps, when expressed in units of the GOP, is reached, is shown to be a generic representation of an honest time. We provide a general formula for the law of such honest times and compute the conditional distributions of the global maximum of a portfolio in this framework. Moreover, we provide a stochastic integral representation for uniformly integrable martingales whose terminal values are functions of the global maximum of a portfolio. These formulae are model independent and universal. We also specialize our results to some examples where we hedge a payoff that arrives at an honest time.

研究动机与目标

• 开发一种基于诚实时间的模型无关金融建模框架，诚实时间是指标准停时理论无法捕捉的随机时间。
• 证明基准非负投资组合达到其全局最大值的时刻是一个典型的诚实时间，从而为投资者和风险管理者提供新工具。
• 推导出此类诚实时间的分布及其条件分布的显式、通用公式，且独立于特定市场动态。
• 为终端值依赖于基准投资组合全局最大值的统一可积鞅，提供随机积分表示，从而实现稳健的对冲策略。

提出的方法

• 使用增长最优投资组合（GOP）作为记价单位，在此记价单位下，所有基准非负投资组合均成为局部鞅。
• 应用随机分析中诚实时间的理论，特别是利用局部鞅达到其最大值的最后通过时间进行表征。
• 通过扩散过程的尺度函数与无穷小生成元，推导诚实时间的拉普拉斯变换。
• 对于参数 δ=3 的平方 Bessel 过程，利用反拉普拉斯变换推导出诚实时间的显式密度公式。
• 利用尺度函数与最小过程，建立诚实时间的条件生存概率的一般公式。
• 应用基准方法，避免对等价风险中性测度的依赖，从而实现现实世界中的衍生品定价。

实验结果

研究问题

• RQ1 非负基准投资组合达到其全局最大值的时刻的分布是什么？如何在不同模型间实现通用计算？
• RQ2 如何以模型无关的方式表征基准投资组合全局最大值的条件分布？
• RQ3 终端值依赖于基准投资组合全局最大值的统一可积鞅的随机积分表示是什么？
• RQ4 诚实时间的分布如何用扩散过程的尺度函数与无穷小生成元表达？
• RQ5 能否在特定模型（如参数 δ=3 的平方 Bessel 过程）中推导出诚实时间密度的显式公式？

主要发现

• 对于参数 δ=3 的平方 Bessel 过程，诚实时间 g 的显式密度为 p(t) = (1/√(2πxt)) * (1 - exp(-x/(2t)))，其中 t ≥ 0 且初始水平 R₀² = x > 0。
• 诚实时间 g 的拉普拉斯变换为 E[exp(-λg)] = (2/√(2λx)) * exp(-√(2λx)/2) * sinh(√(2λx)/2)，该表达式通过反拉普拉斯变换可导出显式密度。
• 条件生存概率 P(g > t | Fₜ) = s(Yₜ)/s(Zₜ)，其中 Zₜ 为过程的运行最小值，s 为尺度函数。
• 对于一般瞬态扩散 Y，诚实时间 g 的拉普拉斯变换为 E[exp(-λg)] = -∫₀ˣ (s′(u)/s(u)) * (φₗ(x)/φₗ(u)) du，其中 φₗ 满足特征值方程 Gφₗ = λφₗ。
• 该框架可在不假设等价风险中性测度存在的情况下实现衍生品定价与对冲，转而依赖 GOP 作为基准。
• 结果具有普遍性且与模型无关，适用于任何跳跃扩散市场，只要基准投资组合是非负局部鞅。