[论文解读] On hyperbolic cohomology classes

Michael Brunnbauer, D. Kotschick|ArXiv.org|Aug 11, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在单纯复形的背景下建立了双曲上同调类的同调不变性，并将其存在性与基本群的非阿马伦性联系起来。通过证明在第二度数下，无环面类不一定是双曲的，解决了开放问题：构造了显式的辛四维流形，其辛形式为无环面类但非双曲类，从而证明了有界与双曲上同调类之间存在严格包含关系。

ABSTRACT

We study hyperbolic cohomology classes in the general context of simplicial complexes and prove homological invariance statements for them. We relate the existence of hyperbolic cohomology classes to the non-amenability of the fundamental group. In degree two we clarify the relation between hyperbolic and atoroidal classes, leading to an application to symplectically atoroidal manifolds.

研究动机与目标

• 在单纯复形的一般设定下，建立双曲上同调类的同调不变性。
• 澄清双曲上同调类与基本群非阿马伦性之间的关系。
• 解决Kȩdra（2007）关于第二度数下无环面类是否包含于双曲类中的开放问题。
• 构造显式辛四维流形的例子，其中辛类为无环面类但非双曲类，从而证明有界与双曲上同调子空间之间存在严格包含关系。

提出的方法

• 通过在万有覆叠上存在有界原像，利用单纯复形上的de Rham上同调定义双曲上同调类。
• 利用de Rham定理，将实奇异上同调与单纯复形上微分形式的de Rham上同调相等化。
• 应用Brooks关于拉普拉斯算子谱间隙的结果，将基本群的非阿马伦性与双曲类的缺失联系起来。
• 利用Barge-Ghys群中非挠元不可由低亏格曲面实现的性质，构造无环面但非双曲类。
• 通过Lefschetz纤维化与Thurston型辛粘合的纤维和构造，将这些上同调类实现在辛四维流形上。
• 利用有界上同调在阿马伦群（如幂零群）上为零的事实，证明在这些情况下双曲类不可能存在，而无环面类仍可能非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 第二度数下所有无环面上同调类是否都是双曲的？（Gromov提出猜想，Kȩdra提出质疑。）
• RQ2 第二度数下，上同调的双曲子空间是否与有界上同调子空间重合，还是包含关系是严格的？
• RQ3 基本群的非阿马伦性如何影响双曲上同调类的存在或不存在？
• RQ4 能否构造闭的辛四维流形，使得其辛类为无环面类但非双曲类？
• RQ5 在更高度数下，以及在阿马伦基本群存在的情况下，双曲、有界与无环面上同调子空间之间存在何种关系？

主要发现

• 存在有限表示群Γ，使得双曲子空间V²_hyp(BΓ)为平凡，而无环面子空间V²_ator(BΓ)非平凡，表明无环面类不一定是双曲的。
• 显式存在闭的辛四维流形，其辛形式ω为无环面类但非双曲类，从而对‘所有无环面类均为双曲类’的猜想构成反例。
• 一般情况下，包含关系V²_b(X) ⊂ V²_hyp(X)是严格的，如示例所示：由于阿马伦性，有界类消失，而双曲类仍可能存在。
• 在上同调的最高次数下，即使有界上同调子空间为零，双曲子空间仍可非平凡，如基本群非阿马伦且单纯体积为零的流形所示。
• 所有双曲子空间的和在实上同调环中构成一个理想，但有界上同调子空间不具有此性质。
• 通过Lefschetz纤维化的纤维和构造的辛四维流形，其辛类ω = ω_F + kπ*ω_B在k足够大时为无环面类但非双曲类，原因在于ω_F的非双曲性。