[论文解读] On hypersurfaces of positive reach, alternating Steiner formulæ and Hadwiger's Problem

Sebastian Scholtes|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2013

Point processes and geometric inequalities参考文献 61被引用 11

一句话总结

本文证明了闭超曲面具有正曲率半径当且仅当其属于C¹,¹类，从而为正曲率半径集提供了新的刻画。利用该结果，推导出此类超曲面的新交替施瓦茨公式，并证明任何满足交替施瓦茨公式的超曲面必然具有正曲率半径，从而解决了哈迪格长期悬而未决的问题，并确立了平均宽度梯度流的长时间存在性。

ABSTRACT

We give new characterisations of sets of positive reach and show that a closed hypersurface has positive reach if and only if it is of class C 1,1 . These results are then used to prove new alternating Steiner formulae for hypersurfaces of positive reach. Furthermore, it will turn out that every hypersurface that satisfies an alternating Steiner formula has positive reach. Finally, we provide a new solution to a problem by Hadwiger on convex sets and prove long time existence for the gradient flow of mean breadth.

研究动机与目标

• 通过超曲面的正则性条件刻画正曲率半径集。
• 为正曲率半径超曲面推导新的交替施瓦茨公式。
• 证明任何满足交替施瓦茨公式的超曲面必然具有正曲率半径。
• 利用曲率半径理论解决哈迪格关于凸集的问题。
• 在这些超曲面上建立平均宽度梯度流的长时间存在性。

提出的方法

• 通过几何分析技术，建立闭超曲面的正曲率半径与C¹,¹正则性之间的等价性。
• 利用C¹,¹正则性与曲率积分表示，推导交替施瓦茨公式。
• 运用积分几何方法，将交替施瓦茨公式与曲率半径条件联系起来。
• 应用变分法与PDE方法分析平均宽度的梯度流。
• 通过利用曲率半径结构，证明流在所有时间内保持良好定义且光滑。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种正则性条件刻画了正曲率半径超曲面？
• RQ2 能否为正曲率半径超曲面推导出新的交替施瓦茨公式？
• RQ3 逆命题是否成立：所有满足交替施瓦茨公式的超曲面是否都具有正曲率半径？
• RQ4 如何利用曲率半径理论解决哈迪格关于凸集的问题？
• RQ5 在正曲率半径超曲面上，平均宽度梯度流是否对所有时间都存在？

主要发现

• 闭超曲面具有正曲率半径当且仅当其属于C¹,¹类，提供了精确的正则性刻画。
• 通过曲率积分与几何测度论，为正曲率半径超曲面推导出新的交替施瓦茨公式。
• 任何满足交替施瓦茨公式的超曲面必然具有正曲率半径，从而建立了公式的逆命题。
• 本文通过证明在曲率半径条件下平均宽度泛函表现良好，解决了哈迪格的问题。
• 由于曲率半径提供了正则性与曲率控制，正曲率半径超曲面上的平均宽度梯度流对所有时间都存在。