[论文解读] On images of Mori dream spaces

Shinnosuke Okawa|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文证明了在满态射下，Mori dream 空间的像仍然是 Mori dream 空间，通过源空间的结构证明了目标空间的 Cox 环的有限生成性。本文在有效锥上引入了一种扇形结构，该结构编码了 Zariski 分解和 GIT 等价性，表明目标空间的扇形是源空间扇形在目标空间有效锥上的限制。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to study the geometry of images of morphisms from Mori dream spaces. First we prove that a variety which admits a surjective morphism from a Mori dream space is again a Mori dream space. Secondly we introduce a natural fan structure on the effective cone of Mori dream spaces. We show that it encodes the information of Zariski decompositions, which in turn is equivalent to the information of the variation of GIT quotients of their Cox rings. Finally we show that under a surjective morphism between Mori dream spaces, the fan of the target space coincides with the restriction of the fan of the source.

研究动机与目标

• 证明在满态射下，Mori dream 空间的像仍然是 Mori dream 空间。
• 在 Mori dream 空间的有效锥上定义并研究一种典范扇形结构。
• 将该扇形结构与 Zariski 分解以及 Cox 环的 GIT 商的变化联系起来。
• 证明在 Mori dream 空间之间的满态射下，目标空间的扇形等于源空间扇形在目标空间有效锥上的限制。
• 将理论推广至 Mori dream 区域，并考察此类情况下扇形相容性的极限。

提出的方法

• 通过利用源空间 Cox 环的有限生成性以及态射的 Stein 分解，证明目标簇 Cox 环的有限生成性。
• 将有限态射分解为可分部分与纯不可分部分，分别利用多截面环的性质处理每种情况。
• 通过强 Mori 等价性在 Mori dream 空间的有效锥上定义扇形，其中两个线丛等价当且仅当它们的 Zariski 分解中负部分的支集相同，且正部分定义相同的 Iitaka 纤维化。
• 通过 Cox 环上对偶环的作用，建立 Mori dream 空间上线丛的强 Mori 等价性与 GIT 等价性之间的等价关系。
• 利用有理 Picard 群上的拉回映射，将源空间的扇形限制到目标空间的有效锥上，并证明该限制等于目标空间的扇形。
• 通过小修改将问题约化到 Q-因子化情形，验证扇形结构与有限生成性在该情形下保持不变，从而将结果推广至 Mori dream 区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满态射下，Mori dream 空间的像是否一定是 Mori dream 空间？
• RQ2 能否在 Mori dream 空间有效锥上定义一种典范扇形结构，使其编码 Zariski 分解数据？
• RQ3 Mori dream 空间有效锥上的扇形结构是否等价于其 Cox 环 GIT 商的变化？
• RQ4 在 Mori dream 空间之间的满态射 f: X → Y 下，目标空间 Y 的扇形是否与源空间 X 扇形在 Y 的有效锥上的限制一致？
• RQ5 这些扇形理论与 GIT 理论结构在多大程度上可推广至 Mori dream 区域？其局限性是什么？

主要发现

• 在正常 Q-因子化射影簇之间的满态射下，Mori dream 空间的像仍是 Mori dream 空间。
• Mori dream 空间有效锥上存在一种典范扇形结构，其中每个锥对应于一组强 Mori 等价的线丛类。
• 强 Mori 等价性——由 Zariski 分解中负部分支集一致以及正部分定义相同 Iitaka 纤维化所定义——与 Cox 环中相应特征的 GIT 等价性等价。
• 对于 Mori dream 空间之间的满态射 f: X → Y，Y 的扇形等于 X 扇形在 Y 的有效锥上的限制。
• 结果可推广至 Mori dream 区域，其中源空间中 Mori dream 区域在 Y 的有效锥上的限制，即为 Y 中的 Mori dream 区域。
• 由于不稳定集的问题，且在缺乏充分线丛时 GIT 等价性与强 Mori 等价性可能不匹配，因此扇形结构通常无法推广至任意 Mori dream 区域。