[论文解读] On Incompressible Averaged Lagrangian Hydrodynamics

Steve Shkoller|ArXiv.org|Aug 19, 1999

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 31被引用 8

一句话总结

本文通过在体积保持微分同胚群的子群上分析拉格朗日流映射的新弱右不变度量，建立了紧致黎曼流形带边界的不可压缩平均化欧拉方程的光滑解的存在性与唯一性。关键贡献在于证明了对于初始数据属于 $H^s$ 且 $s > n/2 + 1$ 的情形，光滑测地线存在，并表明该度量通过改变截面曲率的符号，使原始欧拉流稳定，甚至在边界上也建立了零粘性极限。

ABSTRACT

This paper is devoted to the geometric analysis of the incompressible averaged Euler equations on compact Riemannian manifolds with boundary. The equation also coincides with the model for a second-grade non-Newtonian fluid. We study the analytical and geometrical properties of the Lagrangian flow map. We prove existence and uniqueness of smooth-in-time solutions for initial data in $H^s$, $s > n/2 +1$ by establishing the existence of smooth geodesics of a new weak right invariant metric on new subgroups of the volume-preserving diffeomorphism group. We establish smooth limits of zero viscosity for the second-grade fluids equations even on manifolds with boundary. We prove that the weak curvature operator of the weak invariant metric is continuous in the $H^s$ topology for $s> n/2+2$, thus proving existence and uniqueness for the Jacobi equation. We show that this new metric stabilizes the Lagrangian flow of the original Euler equations by changing the sign of the sectional curvature.

研究动机与目标

• 研究紧致黎曼流形带边界的不可压缩平均化欧拉方程的几何与分析结构。
• 通过一种新颖的弱右不变度量，建立初始数据属于 $H^s$ 且 $s > n/2 + 1$ 的光滑时间解的存在性与唯一性。
• 证明该新度量在体积保持微分同胚群子群上的光滑测地线存在。
• 证明带边界的流形上二阶流体方程的零粘性极限。
• 表明新度量通过改变截面曲率的符号，使原始欧拉方程的拉格朗日流稳定。

提出的方法

• 在体积保持微分同胚群的子群上引入一种新的弱右不变黎曼度量。
• 分析与该度量相关的测地线方程，以模拟平均化欧拉方程。
• 应用无穷维黎曼几何及偏微分方程分析技术，证明光滑解的存在性与唯一性。
• 在 $s > n/2 + 2$ 的条件下，建立弱曲率算子在 $H^s$ 拓扑下的连续性，从而支持雅可比方程的分析。
• 利用几何结构证明新度量改变了截面曲率的符号，从而稳定了原始欧拉流。
• 将二阶非牛顿流体理论作为平均化模型的物理实现加以应用。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明紧致黎曼流形带边界的不可压缩平均化欧拉方程存在光滑解？
• RQ2 体积保持微分同胚群上的新弱右不变度量如何影响拉格朗日流的稳定性？
• RQ3 该新度量的弱曲率算子在索伯列夫空间 $H^s$ 中的正则性如何？
• RQ4 能否在带边界的流形上严格建立二阶流体方程的零粘性极限？
• RQ5 新度量是否改变了截面曲率的符号，从而稳定了原始欧拉动力学？

主要发现

• 对于初始数据属于 $H^s$ 且 $s > n/2 + 1$ 的情形，光滑解存在且唯一。
• 在体积保持微分同胚群的子群上，已建立新弱右不变度量的光滑测地线存在性。
• 该度量的弱曲率算子在 $s > n/2 + 2$ 的 $H^s$ 拓扑下连续，确保了雅可比方程的适定性。
• 即使在带边界的流形上，也证明了二阶流体方程的零粘性极限存在。
• 新度量通过改变截面曲率的符号，使原始欧拉方程的拉格朗日流稳定。
• 平均化欧拉方程与二阶非牛顿流体模型一致，为该流体模型提供了几何解释。