[论文解读] On inequalities for A-numerical radius of operators

Pintu Bhunia, Kallol Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 25被引用 12

一句话总结

本文建立了希尔伯特空间上有界线性算子的 A-数值半径的新上界和下界，推广并改进了现有不等式。通过利用 A-伴随算子、A-自伴性及算子矩阵技术，推导出 $ w_A(T) $ 的更精确估计，包括涉及 A-最小模和 A-Crawford 数的新型下界，并为 $ 2\times2 $ 算子矩阵及 A-范数下算子乘积的数值半径提供了改进的界。

ABSTRACT

Let $A$ be a positive operator on a complex Hilbert space $\mathcal{H}.$ We present inequalities concerning upper and lower bounds for $A$-numerical radius of operators, which improve on and generalize the existing ones, studied recently in [A. Zamani, A-Numerical radius inequalities for semi-Hilbertian space operators, Linear Algebra Appl. 578 (2019) 159-183]. We also obtain some inequalities for $B$-numerical radius of $2 imes 2$ operator matrices where $B$ is the $2 imes 2$ diagonal operator matrix whose diagonal entries are $A$. Further we obtain upper bounds for $A$-numerical radius for product of operators which improve on the existing bounds.

研究动机与目标

• 为希尔伯特空间上有界线性算子的 A-数值半径提供更精细且更一般的上界与下界。
• 通过将 A-最小模与 A-Crawford 数纳入估计，扩展 ZAMANI (2019) 的结果，实现更紧密的界。
• 为 $ 2\times2 $ 算子矩阵的 B-数值半径推导新的不等式，其中 $ B = \text{diag}(A,A) $。
• 通过引入 $ Y^{\sharp_A}X $ 或 $ YX^{\sharp_A} $ 的 A-Crawford 数，改进算子乘积 $ XY $ 的 A-数值半径的已知上界。
• 利用多个基于 A-范数的不变量，组合得到彼此不可比较但整体更强的 $ w_A(T) $ 下界。

提出的方法

• 利用 Moore-Penrose 逆定义的 A-伴随算子 $ T^{\sharp_A} = A^\dagger T^* A $，以定义 A-范数与 A-数值半径。
• 应用 A-算子半范数 $ \|T\|_A = \sup_{\|x\|_A=1, x\in\overline{\mathcal{R}(A)}} \|Tx\|_A $ 与 A-最小模 $ m_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} \|Tx\|_A $。
• 将 A-Crawford 数 $ c_A(T) = \inf_{\|x\|_A=1} |\langle Tx,x\rangle_A| $ 作为推导下界的关键成分。
• 利用 $ \mathcal{H} \oplus \mathcal{H} $ 上的算子矩阵 $ T = \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $ 且 $ B = \text{diag}(A,A) $，将 $ w_B(T) $ 与 $ w_A(X), w_A(Y) $ 关联起来。
• 应用引理 3.4 推导形如 $ \|Tx\|_A^2 + |\langle T^2x,x\rangle_A| \leq 2w_A(T)\|Tx\|_A\|x\|_A $ 的不等式，并将其推广至矩阵形式。
• 将这些不等式与 $ \overline{\mathcal{R}(A)} $ 中归一化向量的上确界估计相结合，推导出 $ w_A(T) $ 的新界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过引入 A-最小模与 A-Crawford 数，推导出 A-数值半径 $ w_A(T) $ 的更紧致上界与下界？
• RQ2 如何用 $ w_A(X), w_A(Y) $ 与 $ \|X\|_A, \|Y\|_A $ 表达 $ 2\times2 $ 算子矩阵（非对角块）的数值半径？
• RQ3 能否通过引入 $ Y^{\sharp_A}X $ 或 $ YX^{\sharp_A} $ 的 A-Crawford 数，改进已知的 $ w_A(XY) $ 上界？
• RQ4 算子乘积 $ XY $ 的 A-数值半径与 $ X $ 和 $ Y $ 的各自范数及数值半径之间存在何种关系？
• RQ5 能否将多个彼此不可比较的 $ w_A(T) $ 下界组合，以获得严格更优的估计？

主要发现

• 本文建立不等式 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A - c_A(Y^{\sharp_A}X) $，其优于已知界 $ w_A(XY) \leq 2w_A(X)\|Y\|_A $。
• 证明 $ w_A(XY) \leq 2w_A(Y)\|X\|_A - c_A(YX^{\sharp_A}) $，为乘积的 A-数值半径提供对偶改进。
• 对于 $ 2\times2 $ 算子矩阵 $ \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix} $，不等式 $ \|X\|_A^2 + c_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $ 成立，提供了以 $ w_B(T) $ 表示的新下界。
• 推导出不等式 $ m_A^2(X) + w_A(YX) \leq 2w_B(T)\|X\|_A $，将 A-最小模与 A-数值半径与矩阵的 B-数值半径联系起来。
• 获得 $ w_A(T) $ 的新下界：$ w_A(T) \geq \frac{1}{2\|T\|_A} \max\left\{ \|T\|_A^2 + c_A(T^2), m_A^2(T) + w_A(T^2) \right\} $，其优于 [25, 推论 2.8]。
• 所推导的界彼此不可比较，但其最大值提供了严格优于任一单独界的估计。