[论文解读] On infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups

Franziska Kühn|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文建立了 Courrège-von Waldenfels 定理与子线性马尔可夫半群的 Dynkin 公式的子线性推广，证明了任何满足正最大值原理的 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的子线性生成元均可表示为具有负定符号的伪微分算子的上确界。这为子线性半群的无穷小生成元提供了表示形式，并将其与非线性 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程及子线性期望下的 Lévy 过程联系起来。

ABSTRACT

We establish a Dynkin formula and a Courrège-von Waldenfels theorem for sublinear Markov semigroups. In particular, we show that any sublinear operator $A$ on $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ satisfying the positive maximum principle can be represented as supremum of a family of pseudo-differential operators: $$Af(x) = \sup_{α\in I} (-q_α(x,D) f)(x).$$ As an immediate consequence, we obtain a representation formula for infinitesimal generators of sublinear Markov semigroups with a sufficiently rich domain. We give applications in the theory of non-linear Hamilton--Jacobi--Bellman equations and Lévy processes for sublinear expectations.

研究动机与目标

• 将经典的 Courrège-von Waldenfels 定理与 Dynkin 公式推广至子线性马尔可夫半群的框架下。
• 将具有足够丰富定义域的子线性马尔可夫半群的无穷小生成元表征为伪微分算子的上确界。
• 建立子线性半群与非线性 Hamilton–Jacobi–Bellman (HJB) 方程之间的联系。
• 通过其生成元提供子线性 Lévy 过程的表示，并在 Lévy 测度满足紧致性条件下证明唯一性。

提出的方法

• 利用算子的次可加性与正齐次性，推导子线性半群的广义 Dynkin 公式。
• 证明任意满足正最大值原理的 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的子线性算子 $A$ 可表示为 $Af(x) = \sup_{\alpha \in I} (-q_\alpha(x,D)f)(x)$，其中 $q_\alpha$ 为伪微分算子。
• 建立子线性版本的 Courrège-von Waldenfels 定理，表明生成元可通过一族 Lévy 三元组的上确界表示，包含漂移、扩散与跳变分量。
• 利用该表示形式，证明演化方程 $\partial_t u - A_x u = 0$ 的解 $u(t,x) = T_t f(x)$ 是非线性 HJB 方程的粘性解。
• 将结果应用于子线性 Lévy 过程，通过证明在 Lévy 测度满足紧致性条件下，半群由其在 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的生成元唯一确定。
• 利用粘性解理论与强连续性，证明在 $\nu_\theta$ 的紧致性条件下，半群具有唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典的 Courrège-von Waldenfels 定理能否推广至子线性马尔可夫半群？
• RQ2 子线性半群是否存在 Dynkin 公式？其与线性情形有何不同？
• RQ3 具有丰富定义域的子线性半群的无穷小生成元能否表示为伪微分算子的上确界？
• RQ4 子线性马尔可夫半群与非线性 Hamilton–Jacobi–Bellman 方程之间存在何种联系？
• RQ5 在何种条件下，子线性马尔可夫卷积半群由其在 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的生成元唯一确定？

主要发现

• 具有包含 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 的定义域的子线性马尔可夫半群的无穷小生成元 $A$ 具有如下表示：$Af(x) = \sup_{\alpha \in I} \left( -c_\alpha(x)f(x) + b_\alpha(x) \cdot \nabla f(x) + \frac{1}{2} \operatorname{tr}(Q_\alpha(x) \cdot \nabla^2 f(x)) + \int_{y \neq 0} (f(x+y) - f(x) - y \cdot \nabla f(x) \mathbf{1}_{(0,1)}(|y|)) \, \nu_\alpha(x,dy) \right)$。
• 广义 Dynkin 公式适用于子线性半群：对所有 $f \in \mathcal{D}(A)$，有 $T_t f - f = \int_0^t T_s A f \, ds$。
• 演化方程 $\partial_t u - A_x u = 0$ 的解 $u(t,x) = T_t f(x)$ 是由一族线性生成元上确界给出的非线性 HJB 方程的粘性解。
• 在紧致性条件 $\lim_{R \to \infty} \sup_{\theta \in I} \int_{|y| > R} \nu_\theta(dy) = 0$ 下，若两个子线性马尔可夫卷积半群在 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的生成元相同，则对所有 $t \geq 0$ 和 $f \in C_b^{\operatorname{uc}}(\mathbb{R}^d)$，二者相等。
• 若一族 Lévy 测度 $\nu_\theta$ 满足紧致性条件，则子线性 Lévy 过程所对应的半群由其在 $C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ 上的生成元唯一确定。
• 在紧致性条件成立时，通过一族概率测度 $\mathfrak{P}^x$ 的上确界构造的子线性 Lévy 过程，其有限维分布与半群与由生成元定义的过程度相同。