[论文解读] On inner product in modular tensor categories. I

Alexander Kirillov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用 30

一句话总结

本文在根次單位根處的量子群所導出的模 tensor 類別中，建立了模群 $SL_2(\mathbb{Z})$ 的統一表示。它在這些互變空間上構造了一個自然的厄米內積，證明模群作用是單位的，並將 $S$-矩陣與型 $A_{n-1}$ 的麥克唐納多項式聯繫起來，對 $\mathfrak{sl}_n$ 提供了明確公式，並與謝雷尼克的差分傅里葉變換建立關聯。

ABSTRACT

In this paper we study modular tensor categories (braided rigid balanced tensor categories with additional finiteness and non-degeneracy conditions), in particular, representations of quantum groups at roots of unity. We show that the action of modular group on certain spaces of morphisms in MTC is unitary with respect to the natural inner product on these spaces. In a special case of category based on representations of the quantum group U_q sl_n at roots of unity we show that in some of these spaces of morphisms (for U_q sl_2, in all of them) the action of modular group can be written in terms of values of Macdonald's polynomials of type A at roots of unity. This gives identities for these special values, both known before (symmetry identity) and new ones. The paper contains a detailed exposition of the theory of modular categories as well as construction of modular categories from representation of quantum groups at roots of unity

研究动机与目标

• 在根次單位根處的量子群所導出的模 tensor 類別中，互變空間上定義一個標準的厄米內積。
• 證明模群 $SL_2(\mathbb{Z})$ 對這些互變空間的投影作用在該內積下是單位的。
• 精確建立模 tensor 類別的 $S$-矩陣與型 $A_{n-1}$ 麥克唐納多項式特殊值之間的聯繫。
• 證明當 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ 時，$S$-矩陣的元素可用在單位根處求值的麥克唐納多項式表示。
• 猜想所構造的內積在一般情況下是正定的，並在 $\mathfrak{sl}_2$ 情況下進行驗證。

提出的方法

• 利用量子威爾群中的元素 $\Omega$，在 $q = \varepsilon = e^{\pi i / (m\kappa)}$ 處的 $U_q\mathfrak{g}$ 表示類別上定義厄米結構。
• 在不可約高權模上構造一個非退化的厄米形式 $H$，滿足對所有 $x$ 在量子群中，有 $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$。
• 透過在 $t \in [0,1]$ 上的形變論證，從 $q=1$ 情況的連續性證明形式 $H$ 的正定性。
• 透過 $H(v \otimes w, v' \otimes w') = H(v, v')H(w, w')$ 將內積擴展至張量積，並保持 $\omega$ 作用下的不變性。
• 利用透過扭結與對偶定義的 $S$-矩陣，將互變空間與模群表示聯繫起來。
• 將 $S$-矩陣元素表示為型 $A_{n-1}$ 麥克唐納多項式在單位根處的取值，與謝雷尼克的差分傅里葉變換公式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在根次單位根處的量子群所導出的模 tensor 類別中，互變空間上是否存在一個自然的厄米內積？
• RQ2 模群 $SL_2(\mathbb{Z})$ 在該內積下是否作用為單位？
• RQ3 此類類別的 $S$-矩陣能否以在單位根處求值的麥克唐納多項式表示？
• RQ4 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $S$-矩陣與謝雷尼克的差分傅里葉變換之間有何關係？
• RQ5 所構造的厄米內積是否在一般情況下正定？此猜想能否在 $\mathfrak{sl}_2$ 以外的情況下驗證？

主要发现

• 構造了一個唯一的厄米內積 $H$，定義於 $U_\varepsilon\mathfrak{g}$ 的不可約表示上，滿足不變性條件 $H(xv, v') = H(v, S\omega(x)v')$。
• 在 $\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_n$ 處於單位根時，該內積被證明是正定的，方法為從 $q=1$ 透過連續形變。
• 證明了 $\mathfrak{sl}_n$ 的 $S$-矩陣元素等於型 $A_{n-1}$ 麥克唐納多項式在單位根處的特殊值。
• 這些值與謝雷尼克差分傅里葉變換的矩陣係數一致，從而建立了表示理論與特殊函數之間的深刻聯繫。
• 模群 $SL_2(\mathbb{Z})$ 對互變空間的作用在所構造的內積下是單位的。
• 提出猜想：該內積在一般情況下是正定的，並在 $\mathfrak{sl}_2$ 情況下獲得部分驗證。