[论文解读] On integrability of infinitesimal actions

Ieke Moerdijk, J. Mrčun|ArXiv.org|Jun 6, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用 4

一句话总结

本论文为由一个可积李代数胚对另一个可积李代数胚的无穷小作用所导出的半直积李代数胚建立了可积性条件。通过叶层理论与主李群胚丛上的联络，作者证明了在一般假设下此类半直积是可积的——具体而言，当目标代数胚为叶层、相对于作用代数胚是正则的，或由源紧致、源单连通的群胚可积时，结果成立，从而推广了Dazord与Nistor的研究成果。

ABSTRACT

We use foliations and connections on principal Lie groupoid bundles to prove various integrability results for Lie algebroids. In particular, we show, under quite general assumptions, that the semi-direct product associated to an infinitesimal action of one integrable Lie algebroid on another is integrable. This generalizes recent results of Dazord and Nistor.

研究动机与目标

• 将李代数胚的可积性结果推广至已知情形之外，特别是无穷小作用的半直积情形。
• 建立两个可积李代数胚的半直积本身可积的充分条件。
• 统一并扩展先前关于变换代数胚与具有平坦分裂的正则代数胚可积性的研究成果。
• 利用叶层与主李群胚丛上的联络，构建一个分析李代数胚作用下可积性的框架。

提出的方法

• 利用叶层理论与主李群胚丛上的联络，分析李代数胚的可积性。
• 应用李群胚的源单连通覆叠概念，从代数胚构造积分群胚。
• 引入取值于李群胚的李代数胚的联络概念，以控制路径提升与单值性。
• 通过叶层诱导的覆叠投影的路径提升，构造李群胚 $ H $ 对单值群胚 $ \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})_1 $ 的作用。
• 利用商群胚 $ K = \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})/G/H $ 构造一个李群胚，其李代数胚与 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ 同构。
• 应用子代数胚可积性及代数胚间态射的结果，确立主要定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个可积李代数胚的半直积 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ 本身是可积的？
• RQ2 能否通过一个统一框架，将变换代数胚与具有平坦分裂的正则代数胚的可积性统一并推广？
• RQ3 叶层与主李群胚丛上的联络如何促进积分群胚的构造？
• RQ4 源单连通覆叠与向量场的完备性在李代数胚可积性中起什么作用？

主要发现

• 若 $ \mathfrak{h} $ 为叶层代数胚，则半直积 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ 是可积的。
• 若 $ \mathfrak{h} $ 在适当意义下相对于 $ \mathfrak{g} $ 是正则的，如引理5.4所形式化，半直积是可积的。
• 若 $ \mathfrak{h} $ 由一个源紧致、源单连通的李群胚可积，则 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ 是可积的，如定理5.7所示。
• 李代数胚 $ \mathfrak{h} $ 上的导子代数 $ \mathrm{Der}(\mathfrak{h}) $ 同构于其源单连通群胚 $ H $ 上的乘法向量场代数。
• 在适当条件下，李群胚 $ G $ 对可积李代数胚 $ \mathfrak{h} $ 的作用可被提升为对 $ \mathfrak{h} $ 的积分群胚的作用。
• 商群胚 $ K = \mathrm{Mon}(M,\mathcal{F})/G/H $ 的构造产生了一个李群胚，其李代数胚与 $ \mathfrak{g} \ltimes \mathfrak{h} $ 同构，通过几何路径提升与覆叠理论确认了可积性。