[论文解读] On integral points on biquadratic curves and near-multiples of squares in Lucas sequences

Max A. Alekseyev, Tengely, Szabolcs|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 11

一句话总结

本文提出一种初等算法，将双二次曲线 $y^2 = ax^4 + bx^2 + c$ 上整点的搜索问题转化为有限个Thue方程的求解，从而可借助现有求解器实现高效计算。该方法被应用于寻找Lucas序列中的近平方数，证明在Fibonacci数中，仅2和34形如 $2m^2 + 2$，仅1、13和1597形如 $m^2 - 3$。该方法新颖且实用，为代数数论方法提供了构造性替代方案。

ABSTRACT

We describe an algorithmic reduction of the search for integral points on a curve y^2 = ax^4 + bx^2 + c with nonzero ac(b^2-4ac) to solving a finite number of Thue equations. While existence of such reduction is anticipated from arguments of algebraic number theory, our algorithm is elementary and to best of our knowledge is the first published algorithm of this kind. In combination with other methods and powered by existing software Thue equations solvers, it allows one to efficiently compute integral points on biquadratic curves. We illustrate this approach with a particular application of finding near-multiples of squares in Lucas sequences. As an example, we establish that among Fibonacci numbers only 2 and 34 are of the form 2m^2+2; only 1, 13, and 1597 are of the form m^2-3; and so on. As an auxiliary result, we also give an algorithm for solving a Diophantine equation k^2 = f(m,n)/g(m,n) in integers m,n,k, where f and g are homogeneous quadratic polynomials.

研究动机与目标

• 开发一种算法化约化方法，用于求解双二次曲线 $y^2 = ax^4 + bx^2 + c$ 上的整点，其中 $ac(b^2 - 4ac) \neq 0$。
• 提供一种实用且初等的方法，避免使用高级代数数论，与以往理论性处理形成对比。
• 实现对Lucas序列中近平方数（如形如 $am^2 + b$ 的项）的高效计算。
• 通过在约化过程中处理不可约与可约的Thue型方程，扩展现有方法。
• 通过在Fibonacci、Lucas、Pell和Pell-Lucas序列中的显式计算，展示该方法的实用性。

提出的方法

• 将双二次曲线 $y^2 = ax^4 + bx^2 + c$ 约化为形如 $k^2 = f(m,n)/g(m,n)$ 的丢番图方程，其中 $f$ 和 $g$ 为齐次二次多项式。
• 通过初等代数恒等变形，将方程转化为有限组四次Thue方程。
• 应用已知的Thue方程求解算法，利用SAGE结合PARI/GP或MAGMA求解器等软件工具。
• 利用Lucas序列理论及基本恒等式 $V_n^2 - D U_n^2 = 4Q^n$，将形如 $am^2 + b$ 的项与Thue方程的解联系起来。
• 对于 $V(P, \pm 1)$ 序列中 $b = \pm 2$ 的特殊情况，必要时约化为Thue方程与Pell-Fermat方程。
• 在SAGE中实现该算法，结合椭圆曲线与Thue方程方法，必要时回退至Thue求解器。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用初等方法将 $y^2 = ax^4 + bx^2 + c$ 上整点的搜索问题约化为有限个Thue方程的求解？
• RQ2 是否存在高效的计算方法，用于寻找Lucas序列 $U(P, \pm 1)$ 和 $V(P, \pm 1)$ 中形如 $am^2 + b$ 的项？
• RQ3 Lucas序列中 $am^2 + b$ 形式的解具有何种结构？何时存在有限或无限多个此类项？
• RQ4 该方法能否被实际实现，并与现有Thue方程求解软件集成？
• RQ5 与代数数论方法相比，该方法在可及性与计算可行性方面表现如何？

主要发现

• 在Fibonacci数中，仅2和34形如 $2m^2 + 2$，仅1、13和1597形如 $m^2 - 3$。
• Lucas序列 $V(1, -1)$（即Lucas数）有无限多个形如 $m^2 + 2$ 和 $m^2 - 2$ 的项，原因在于恒等式 $V_{4n+2} = V_{2n+1}^2 + 2$ 和 $V_{4n} = V_{2n}^2 - 2$。
• 对于 $V(P, \pm 1)$ 序列中 $b = \pm 2$ 的情形，该方法约化为有限个Thue方程与一个Pell-Fermat方程，后者可能产生无限多组解。
• 该算法成功计算出Fibonacci、Lucas、Pell和Pell-Lucas数中所有形如 $am^2 + b$ 的项（其中 $1 \leq a \leq 3$ 且 $-3 \leq b \leq 3$），结果如表1所示。
• 该方法已在SAGE中实现并公开发布，结合椭圆曲线与Thue方程方法，兼顾鲁棒性与效率。
• 该方法是首个公开发表的将一般双二次曲线约化为Thue方程的初等算法，为代数数论方法提供了实用的替代方案。