[论文解读] On intersection density of transitive groups of degree a product of two odd primes

Ademir Hujdurović, Klavdija Kutnar+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2021

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文構造了次數為 pq 的傳遞置換群（其中 p 和 q 為奇質數，且 p = (q^k - 1)/(q - 1)），其交集密度為 q，從而推翻了所有此類群的交集密度均為 1 的猜想。該構造利用了 F_q 上長度為 m 的循環碼，其所有非零碼字具有少於 p 個非零項，從而確保存在大型交集集合。關鍵結果是構造出一類交集密度為 q 的非可換群，證明當 p 為射影質數時，該猜想在次數 pq 時不成立。

ABSTRACT

Two elements $g$ and $h$ of a permutation group $G$ acting on a set $V$ are said to be intersecting if $g(v) = h(v)$ for some $v \in V$. More generally, a subset ${\cal F}$ of $G$ is an intersecting set if every pair of elements of ${\cal F}$ is intersecting. The intersection density $ ho(G)$ of a transitive permutation group $G$ is the maximum value of the quotient $|{\cal F}|/|G_v|$ where $G_v$ is a stabilizer of $v\in V$ and ${\cal F}$ runs over all intersecting sets in $G$. Intersection densities of transitive groups of degree $pq$, where $p>q$ are odd primes, is considered. In particular, the conjecture that the intersection density of every such group is equal to $1$ (posed in [ J.~Combin. Theory, Ser. A 180 (2021), 105390]) is disproved by constructing a family of imprimitive permutation groups of degree $pq$ (with blocks of size $q$), where $p=(q^k-1)/(q-1)$, whose intersection density is equal to $q$. The construction depends heavily on certain equidistant cyclic codes $[p,k]_q$ over the field $\mathbb{F}_q$ whose codewords have Hamming weight strictly smaller than $p$.

研究动机与目标

• 研究次數為 pq 的傳遞置換群的交集密度，其中 p 和 q 為奇質數。
• 測試 [13] 中猜想 1.1(iii) 的有效性，該猜想主張所有此類群的交集密度均為 1。
• 構造次數為 pq 且交集密度大於 1 的傳遞群的顯式例子。
• 建立具有受限權重的循環碼與置換群交集密度之間的聯繫。
• 利用代數碼理論提供該猜想的反例。

提出的方法

• 從 F_q 上長度為 m 的循環碼 C 構造 Z_q × Z_m 上的置換群 G(C)，使用移位生成元 α 和透過碼字的分量加法。
• 對每個 c ∈ C 定義 β_c，使其作用為 (i,j) ↦ (i + c_j, j)，從而形成同構於 (Z_q)^k 的正規子群 K。
• 利用半直積 G(C) = K ⋊ ⟨α⟩，其中 α 在第二個坐標上生成循環移位。
• 利用若 C 中所有碼字至少有一個零，則 K 的每個元素都固定某一點的事實，從而使 K 成為大小為 q^k 的交集集合。
• 應用 [6, 命題 2.6] 來界定 ρ(G(C)) ≤ q，並結合 |K| = q^k 的下界，得出 ρ(G(C)) = q。
• 使用推論 4.5 在 p = (q^k - 1)/(q - 1) 為射影質數時構造此類碼，確保所有非零碼字具有 p - q^{k-1} > 0 個零項。

实验结果

研究问题

• RQ1 每一個次數為 pq 的傳遞置換群（其中 p > q 為奇質數）是否如 [13] 所猜想的那樣，其交集密度均為 1？
• RQ2 能否構造出次數為 pq 且交集密度大於 1 的非可換群？
• RQ3 具有受限漢明權重的循環碼在構造置換群中大型交集集合時發揮何種作用？
• RQ4 在何種 p 和 q 條件下，可構造出交集密度為 q 的群？
• RQ5 射影質數與此類高密度交集集合的存在性之間是否存在關聯？

主要发现

• 本文構造了一類次數為 pq 的非可換傳遞置換群，其交集密度等於 q，其中 p = (q^k - 1)/(q - 1) 對某個 k ≥ 2 成立。
• 此構造推翻了 [13] 中猜想 1.1(iii) 的主張，該猜想認為所有次數為 pq 的傳遞群的交集密度均為 1。
• 該構造依賴於 F_q 上長度為 p 的循環碼，其所有非零碼字的漢明權重嚴格小於 p，從而確保對應群具有大型交集集合。
• 對於最小的反例，一個 [11,5]_3 的循環碼產生了一個次數為 33 且交集密度為 3 的傳遞群。
• 當 p 為射影質數時，即 p = (q^k - 1)/(q - 1)（q 為質數冪且整數 k ≥ 2），此類群的存在性得以保證。
• 該方法確認，即使對於合數次數 pq 的傳遞群，交集密度亦可超過 1，從而挑戰了先前的假設。