[论文解读] On Intuitionistic Fuzzy Magnified Translation in Semigroups

Sujit Kumar Sardar, Manasi Mandal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2011

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文在幺半群中引入了直觉模糊放大平移的概念，通过阿塔纳索夫的直觉模糊集，推广了模糊平移和乘法。它利用这一新概念刻画了正则、内正则及左/右正则幺半群，表明直觉模糊平移与乘法是放大平移的特例。

ABSTRACT

The notion of intuitionistic fuzzy sets was introduced by Atanassov as a generalization of the notion of fuzzy sets. S.K Sardar and S.K. Majumder unified the idea of fuzzy translation and fuzzy multiplication of Vasantha Kandasamy to introduce the concept of fuzzy magnified translation in groups and semigroups. The purpose of this paper is to intuitionistically fuzzify(by using Atanassov's idea) the concept of fuzzy magnified translation in semigroups. Here among other results we obtain some characterization theorems of regular, intra-regular, left(right) regular semigroups in terms of intuitionistic fuzzy magnified translation.

研究动机与目标

• 将模糊放大平移的概念扩展到幺半群中的直觉模糊集。
• 在幺半群理论背景下，研究直觉模糊放大平移的性质。
• 利用直觉模糊放大平移刻画正则、内正则及左/右正则幺半群。
• 证明直觉模糊平移与乘法是所提出的放大平移的特例。
• 建立代数幺半群性质与直觉模糊理想结构之间的联系。

提出的方法

• 将直觉模糊放大平移定义为：隶属度 $ A_{\beta\beta}^{C}(x) = \beta \cdot \mu_A(x) + \alpha $，非隶属度 $ \nu_{A_{\beta\alpha}^{C}}(x) = \beta \cdot \nu_A(x) - \alpha $，并设定 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 的约束条件。
• 通过隶属度与非隶属度函数，引入幺半群中的直觉模糊子幺半群、双理想、(1,2)-理想以及左/右理想。
• 建立封闭性质：直觉模糊放大平移保持直觉模糊右/左理想、双理想与(1,2)-理想的结构。
• 通过上确界-下确界复合运算定义运算 $ A \circ B $，以在直觉模糊背景下建模幺半群的乘法。
• 应用特征定理，将代数幺半群性质（如正则性）与直觉模糊放大平移的行为相联系。
• 利用理想特征函数，将抽象结果简化为具体的集合论条件，通过上确界-下确界方程证明等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将模糊放大平移的概念扩展到幺半群中的直觉模糊集？
• RQ2 直觉模糊放大平移在直觉模糊子幺半群与理想方面具有哪些封闭性质？
• RQ3 如何利用直觉模糊放大平移刻画正则、内正则及左/右正则幺半群？
• RQ4 直觉模糊平移与乘法以何种方式成为所提出放大平移的特例？
• RQ5 直觉模糊放大平移的上确界-下确界复合运算与幺半群的代数结构之间存在何种关系？

主要发现

• 直觉模糊放大平移保持了幺半群中直觉模糊右/左理想、双理想与(1,2)-理想的结构。
• 一个幺半群是正则的，当且仅当对每个直觉模糊右理想 $ A $ 和左理想 $ B $，有 $ A_{\beta\alpha}^{C} \circ B_{\beta\alpha}^{C} = A_{\beta\alpha}^{C} \cap B_{\beta\alpha}^{C} $。
• 当且仅当 $ \alpha = 0 $ 时，左或右理想的特征函数才满足放大平移恒等式。
• 由复合运算导出的上确界-下确界方程给出 $ \sup_{x=yz} \min\{\chi_R(y), \chi_L(z)\} = 1 $ 与 $ \inf_{x=yz} \max\{\overline{\chi}_R(y), \overline{\chi}_L(z)\} = 0 $，意味着 $ x \in RL $，因此 $ R \cap L = RL $。
• 当 $ \beta = 1 $ 时，直觉模糊平移是放大平移的特例；当 $ \alpha = 0 $ 时，直觉模糊乘法是放大平移的特例。
• 文献中关于模糊放大平移的定理与推论在直觉模糊设定下得到推广与扩展，并为所有相关结果建立了对应形式。