[论文解读] On invariants of Modular categories beyond modular data

Parsa Bonderson, Colleen Delaney+4 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 49

一句话总结

本文提出 W-matrix 作为模范范畴的新不变量，超越标准模数据，且严格超出 S 与 T 数据。它研究带孔的 S-矩阵及其与 Whitehead 链路不变量的关系，并讨论潜在的完整不变量集。

ABSTRACT

We study novel invariants of modular categories that are beyond the modular data, with an eye towards a simple set of complete invariants for modular categories. Our focus is on the $W$-matrix--the quantum invariant of a colored framed Whitehead link from the associated TQFT of a modular category. We prove that the $W$-matrix and the set of punctured $S$-matrices are strictly beyond the modular data $(S,T)$. Whether or not the triple $(S,T,W)$ constitutes a complete invariant of modular categories remains an open question.

研究动机与目标

• 激发在模范范畴的模数据之外寻找不变量的动机。
• 引入并研究 W-matrix 作为 Whitehead 链路的量子不变量。
• 阐明带孔的 S-矩阵如何与内在不变量以及 Grothendieck 重构原理相关。
• 检验 (S, T, W) 是否能够形成一个完整的不变量集。
• 将这些不变量与已知反例以及来自 D^ω(G) 模范范畴的表示联系起来。

提出的方法

• 在模张量范畴理论中使用图形计算来从 Whitehead 链路定义并计算 W-matrix。
• 为有色单孔圆环定义带孔的 S-矩阵 S^(x)，并证明它们的本征值是内在数据。
• 将 W 与带孔的 S-矩阵相关联并分析它们对基选择的依赖。
• 对具体的 Mignard-Shauenburg 反例 Rep(D^ω(G)) 计算 W-matrix。
• 讨论来自扭曲对偶 D^ω(G) 的带色编 braid 群表示及其作为不变量的作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 W-matrix 和带孔的 S-矩阵是否提供严格超出模数据 (S, T) 的不变量？
• RQ2 是否有一组有限的链路不变量（如 Z(S^3, L_i)）能够确定一个模范范畴？
• RQ3 三元组 (S, T, W) 是否足以分类所有模范范畴，还是需要更多数据？
• RQ4 Mignard-Shauenburg 的反例如何指示 (S, T, W) 潜在的完备性？
• RQ5 带孔的 S-矩阵包含哪些在不需要完整的 F 和 R 符号也能提取的内在信息？

主要发现

• W-matrix 明显超越模数据，因为它为某些模数据完备性的反例提供了新的验证。
• 带孔的 S-矩阵本征值是模范范畴的内在数据，源自带色的单孔圆环及其映射类群作用。
• 对于 2-互编闭合，不变量由模数据决定，而 Whitehead 链路给出超出模数据的不变量。
• 一个完整的不变量集可能涉及 (S, T, W)，但这三元组是否完备仍是一个未解的问题。
• 本工作将 W 和带孔的 S-矩阵与 Mignard-Shauenburg 的反例以及来自扭曲对 D^ω(G) 的表示联系起来。
• 内在的带孔 S-矩阵的迹和行列式是该范畴的内在数据。