[论文解读] On Inviscid Limits for the Stochastic Navier-Stokes Equations and Related Models

Nathan Glatt-Holtz, Vladimír Šverák+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2013

Navier-Stokes equation solutions参考文献 54被引用 5

一句话总结

本文研究了在噪声按 √ν 缩放时，二维随机纳维-斯托克斯方程的无粘极限下不变测度的性质，表明极限测度支持在有界涡度上，并在二维欧拉方程下不变。对于弱阻尼的随机纳维-斯托克斯系统，仅零阶噪声（ν⁰ 缩放）能产生非平凡的无粘极限，这与巴彻勒-克赖恩昌诺夫湍流理论相联系。

ABSTRACT

We study inviscid limits of invariant measures for the 2D Stochastic Navier-Stokes equations. As shown in \cite{Kuksin2004} the noise scaling $\sqrt{ν}$ is the only one which leads to non-trivial limiting measures, which are invariant for the 2D Euler equations. We show that any limiting measure $μ_{0}$ is in fact supported on bounded vorticities. Relationships of $μ_{0}$ to the long term dynamics of Euler in the $L^{\infty}$ with the weak$^{*}$ topology are discussed. In view of the Batchelor-Krainchnan 2D turbulence theory, we also consider inviscid limits for the weakly damped stochastic Navier-Stokes equation. In this setting we show that only an order zero noise (i.e. the noise scaling $ν^0$) leads to a nontrivial limiting measure in the inviscid limit.

研究动机与目标

• 分析二维随机纳维-斯托克斯方程在无粘极限下产生的不变测度的结构与正则性。
• 确定在无粘极限下能产生非平凡极限测度的合适噪声缩放。
• 将极限测度与二维欧拉方程在 L∞ 上的弱*拓扑下的长期动力学相联系。
• 将分析扩展至弱阻尼的随机纳维-斯托克斯系统，识别支持非平凡无粘极限的噪声缩放。
• 将结果与巴彻勒-克赖恩昌诺夫二维湍流理论相联系，特别是关于能量与涡度级联的讨论。

提出的方法

• 使用乘法噪声按 √ν 缩放的二维随机纳维-斯托克斯方程的涡度形式来研究不变测度。
• 在包含索伯列夫与贝索夫型范数（例如时间取值于负索伯列夫空间的 W^{1/3,2} 与 W^{1/3,4}）的函数空间中应用紧致性论证。
• 利用斯科罗霍德定理，从子序列中提取解在 C([0,T];H^{-3}) 和 L²([0,T];H⁰) 中的几乎必然收敛。
• 在 L²(Ω;L²([0,T];H^{1−γ/2})) 和 L∞(Ω;L∞([0,T];H⁰)) 中建立极限过程的弱收敛与弱*收敛。
• 利用逼近过程的平稳性及收敛性，证明极限过程是平稳的，且具有不变测度 μ₀。
• 分析带有阻尼算子 Y_low 的弱阻尼系统，识别出仅 ν⁰ 噪声缩放能产生非平凡的无粘极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维随机纳维-斯托克斯方程中，何种噪声缩放能导致无粘极限下非平凡的不变测度？
• RQ2 极限不变测度 μ₀ 具有哪些正则性特征，特别是关于涡度有界性的性质？
• RQ3 极限测度 μ₀ 如何与 L∞ 上弱*拓扑下二维欧拉方程的长期动力学相关联？
• RQ4 对于弱阻尼的随机纳维-斯托克斯系统，何种噪声缩放支持非平凡的无粘极限？
• RQ5 结果如何与巴彻勒-克赖恩昌诺夫二维湍流理论相一致，特别是关于级联与能量分布的讨论？

主要发现

• 对于二维随机纳维-斯托克斯方程，唯一能产生非平凡极限不变测度的噪声缩放是 √ν，其极限测度支持于有界涡度上。
• 极限测度 μ₀ 在二维欧拉方程下不变，且对应于 L∞ 上弱*拓扑下欧拉动力学的平稳解。
• 对于弱阻尼的随机纳维-斯托克斯系统，仅 ν⁰ 缩放（零阶噪声）能产生非平凡的无粘极限。
• 通过在时间取值于负索伯列夫空间的 W^{1/3,2} 与 W^{1/3,4} 范数中建立一致有界性，证明了解的分布的紧致性。
• 证明极限过程是平稳的，并在分布意义下满足二维欧拉方程，从而确认了极限测度的不变性。
• 结果支持巴彻勒-克赖恩昌诺夫关于二维湍流的图像，特别是推测在无粘极限下速度有界性与粘性无关的假设。