[论文解读] On irreducibility of modules of Whittaker type for cyclic orbifold vertex algebra

Dražen Adamović, Ching Hung Lam+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文将 Dong-Mason 定理关于轨道顶点代数模的不可约性推广到 Whittaker 型弱模。通过构造由不可约弱模的扭副本组成的分次模，并利用李代数实现和 Whittaker 函数，作者证明：若扭模 $W \circ g^i$ 两两不构同，则 $W$ 在固定点子代数 $V^{\langle g\rangle}$ 上仍保持不可约。该结果为 Heisenberg 和 Weyl 顶点代数中的 Whittaker 模提供了顶点代数证明的不可约性，并适用于在 $-1/2$ 水平下的仿射 VOAs。主要贡献是提出了一种在不依赖 Zhu 代数理论的前提下，对群作用下弱模不可约性的通用判别准则。

ABSTRACT

We extend the Dong-Mason theorem on the irreducibility of modules for orbifold vertex algebras from [C. Dong, G. Mason, Duke Math. J. 86 (1997)] 305-321] for the category of weak modules. Let $V$ be a vertex operator algebra, $g$ an automorphism of order $p$. Let $W$ be an irreducible weak $V$--module such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are inequivalent irreducible modules. We prove that $W$ is an irreducible weak $V^{\left\langle g ight angle }$-module. This result can be applied on irreducible modules of certain Lie algebra $\mathfrak L$ such that $W,W\circ g,\dots,W\circ g^{p-1}$ are Whittaker modules having different Whittaker functions. We present certain applications in the cases of the Heisenberg and Weyl vertex operator algebras.

研究动机与目标

• 将 Dong-Mason 定理关于轨道模不可约性的结论从普通模推广至弱模。
• 在不依赖 Zhu 代数理论的前提下，建立 Whittaker 型模的顶点代数不可约性证明。
• 为当扭模 $W \circ g^i$ 两两不构同时，弱 $V^{\langle g\rangle}$-模的不可约性提供一个通用判别准则。
• 将结果应用于 Heisenberg 和 Weyl 顶点代数，证明标准 Whittaker 模的不可约性。
• 通过轨道构造，为仿射 VOAs（如 $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$）构造新的不可约模。

提出的方法

• 构造一个分次 $V^{\langle g\rangle}$-模 $\mathcal{M} = \bigoplus_{i=0}^{p-1} W \circ g^i$，其中每个分量作为 $V^{\langle g\rangle}$-模同构于 $W$。
• 证明形如 $(w, \dots, w)$ 且 $w \neq 0$ 的任一非零向量在 $\mathcal{M}$ 中是循环的，从而推出 $W$ 在 $V^{\langle g\rangle}$ 上不可约。
• 利用与顶点代数 $V$ 关联的李代数 $\mathfrak{g}(V)$ 及其通用包络代数，将循环向量问题转化为结合代数设定。
• 在 $W \cong W \circ g$ 的情形下，对 $\mathbb{Z}_p$ 在 $W$ 上的作用应用广义 Schur 引理，表明 $W$ 分解为 $p$ 个不可约 $V^{\langle g\rangle}$-模的直和。
• 通过由元素 $a(n) - \lambda_n$、$a^*(n) - \mu_n$ 生成的最大左理想，定义 Weyl 代数 $\widehat{\mathcal{A}}$ 上的 Whittaker 模，并证明它们是 $\widehat{\mathcal{A}}$-模的不可约模。
• 使用 Weyl 顶点代数 $M$ 上的自同构 $g_p$，定义为 $a(n) \mapsto \zeta_p a(n)$，$a^*(n) \mapsto \zeta_p^{-1} a^*(n)$，并证明 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$ 在 $i = 0, \dots, p-1$ 时具有不同的 Whittaker 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Dong-Mason 定理关于轨道模不可约性的结论能否推广至不使用 Zhu 代数理论的弱模？
• RQ2 在何种条件下，一个不可约弱 $V$-模 $W$ 也是固定点子代数 $V^{\langle g\rangle}$ 上的不可约模？
• RQ3 如何利用无限维李代数的 Whittaker 模来构造满足推广 Dong-Mason 定理条件的示例？
• RQ4 当 $W$ 是一个在扭作用下具有不同 Whittaker 函数的 Whittaker 模时，Weyl 顶点代数 $M$ 的 $\mathbb{Z}_p$-轨道结构如何？
• RQ5 该新判别准则能否应用于实现仿射 VOAs（如 $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$）的不可约模？

主要发现

• 若 $W$ 是一个不可约弱 $V$-模，且对所有 $i = 1, \dots, p-1$ 有 $W \circ g^i \ncong W$，则 $W$ 作为弱 $V^{\langle g\rangle}$-模是不可约的。
• 当 $W \cong W \circ g$ 时，模 $W$ 分解为 $p$ 个不可约 $V^{\langle g\rangle}$-模的直和。
• 对于 Weyl 顶点代数 $M$，标准 Whittaker 模 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ 作为弱 $M$-模和 $\widehat{\mathcal{A}}$-模都是不可约的。
• 当 $p=2$ 时，$\mathbb{Z}_p$-轨道 $M^{\mathbb{Z}_p}$ 同构于简单仿射 VOA $V_{-1/2}(\mathfrak{sl}(2))$，且当 $\Lambda \neq 0$ 时，$M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ 在此轨道上不可约。
• $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu})$ 是 Whittaker 对 $(\mathfrak{L}, \mathfrak{n})$ 的一个水平为 1 的标准 Whittaker 模，其中 $\mathfrak{n}$ 是由 $n \geq 0$ 时的 $a(n), a^*(n+1)$ 生成的幂零子代数。
• 扭模 $M_1(\bm{\lambda}, \bm{\mu}) \circ g_p^i$ 具有不同的 Whittaker 函数 $\Lambda^{(i)} = (\zeta_p^i \bm{\lambda}, \zeta_p^{-i} \bm{\mu})$，满足在 $M^{\mathbb{Z}_p}$ 上不可约性的条件。