[论文解读] On Irregular Linear Quadratic Control: Deterministic Case

Huanshui Zhang, Juanjuan Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文通过格拉姆矩阵和指定矩阵，建立连续时间系统中不规则线性二次控制的开环可解性，然后在子系统上通过标准里卡蒂方程推导出反馈控制器。关键贡献在于：当标准里卡蒂方程因不规则性而失效时，提出了可解性准则和控制器设计方法。

ABSTRACT

The optimal linear quadratic controller is usually designed based on a Riccati equation. However, when the Riccati is irregular, the problem becomes much more difficult since it is not clear what tools should be applied instead to design the controller. This paper is concerned with the linear quadratic control problem governed by continuous-time system. We firstly show that the solvability of the open-loop control can be fully depicted by a Gramian matrix and a specified matrix. The controller is given via the Gramian matrix and a standard Riccati equation associated with a subsystem. The key to solve the problem is to convert the open-loop solvability into the controllability of a differential equation based on the maximum principle and the solution of a forward and backward differential equation. Moreover, we give the closed-loop solution in the feedback form. The stochastic case will be reported in another paper.

研究动机与目标

• 解决标准里卡蒂方程不规则而无法适用时的线性二次控制挑战。
• 通过格拉姆矩阵和指定矩阵，表征开环控制问题的可解性。
• 通过在子系统上求解标准里卡蒂方程，推导闭环反馈控制器。
• 建立开环可解性与通过最大值原理实现微分方程可控性之间的联系。
• 提供一种控制器设计框架，绕过经典里卡蒂方法在不规则情况下的失效问题。

提出的方法

• 利用最大值原理，将开环可解性与微分方程系统的可控性联系起来。
• 将开环控制问题转化为一个前向-后向微分方程系统，以分析其可解性。
• 定义格拉姆矩阵和指定矩阵，以完全表征开环控制的可解性条件。
• 将原系统分解为一个可求解标准里卡蒂方程的子系统。
• 利用子系统上里卡蒂方程的解和格拉姆矩阵构造控制器。
• 通过格拉姆矩阵和里卡蒂解表达控制律，推导出闭环反馈解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准里卡蒂方程不规则时，如何表征开环可解性？
• RQ2 格拉姆矩阵和指定矩阵在确定线性二次控制问题可解性方面起什么作用？
• RQ3 当经典里卡蒂方法失效时，如何构造反馈控制器？
• RQ4 最大值原理在实现从开环可解性到微分方程可控性的转换中起到何种作用？
• RQ5 原系统与用于求解里卡蒂方程的子系统之间存在何种结构性关系？

主要发现

• 开环可解性完全由格拉姆矩阵和指定矩阵的可逆性表征，提供了必要且充分的条件。
• 控制器通过子系统上标准里卡蒂方程的解显式构造，实现了反馈实现。
• 可解性条件通过最大值原理和前向-后向微分方程系统的求解推导得出。
• 闭环解以反馈形式表达，即使原始里卡蒂方程不规则，也确保了实际可实施性。
• 该方法通过将问题约化为适定的子系统，成功绕过了经典里卡蒂方法在不规则情况下的失效问题。
• 该框架为在标准里卡蒂方程因不规则性而不可用时，提供了一种系统化的控制器设计方法。