[论文解读] On isogeny classes of Edwards curves over finite fields

Omran Ahmadi, Robert Granger|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Cryptography and Residue Arithmetic参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文通过建立 Edwards 曲线与 Legendre 曲线之间的 2-同源，完全分类了奇特征有限域上 Edwards 曲线的同源类，实现了同源类的精确计数，并证明了每个同源类中均包含一个完全 Edwards 曲线。主要成果包括基于群阶整除性的同源至原始 Edwards 曲线的判别准则，以及每个同源类中生成完全或原始曲线的参数比例的显式公式。

ABSTRACT

We count the number of isogeny classes of Edwards curves over finite fields, answering a question recently posed by Rezaeian and Shparlinski. We also show that each isogeny class contains a {\em complete} Edwards curve, and that an Edwards curve is isogenous to an {\em original} Edwards curve over $\F_q$ if and only if its group order is divisible by 8 if $q \equiv -1 \pmod{4}$, and 16 if $q \equiv 1 \pmod{4}$. Furthermore, we give formulae for the proportion of $d \in \F_q \setminus \{0,1\}$ for which the Edwards curve $E_d$ is complete or original, relative to the total number of $d$ in each isogeny class.

研究动机与目标

• 解决近期关于有限域上 Edwards 曲线同源类计数的开放问题。
• 确定在 $\mathbb{F}_q$ 上，Edwards 曲线同源于原始 Edwards 曲线的条件。
• 计算每个同源类中，参数 $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 生成完全或原始 Edwards 曲线的比例。
• 通过显式 2-同源建立 Edwards 曲线与 Legendre 曲线之间的结构联系，以实现同源类的枚举。

提出的方法

• 在 $\mathbb{F}_q$ 上建立 Edwards 曲线 $E_d$ 与 Legendre 曲线 $L_d$ 之间的 2-同源，利用字符和恒等式与 Tate 定理。
• 利用 Katz 最近对 Legendre 曲线同源类的分类结果，推导 Edwards 曲线同源类的数量。
• 应用 Deuring 风格的类数公式，计算每个同源类中完全 Edwards 曲线参数 $d$ 的数量。
• 构建不同曲线类型（如完全、原始）参数集之间的显式双射，以推导比例公式。
• 利用 $E_d$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上与 $E_{1-d}, E_{1/d}, E_{1-1/d}, E_{d/(d-1)}$ 之间存在 4-同源的事实，具体取决于 $\mathbb{F}_q$ 中的二次特征。
• 利用已知的 Huff 曲线与 Edwards 曲线之间的同构关系，将结果推广至相关曲线族。

实验结果

研究问题

• RQ1 在奇特征的有限域 $\mathbb{F}_q$ 上，Edwards 曲线的同源类共有多少个？
• RQ2 在 $\mathbb{F}_q$ 上，Edwards 曲线在何种条件下同源于原始 Edwards 曲线？
• RQ3 在给定同源类中，参数 $d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 中有多少比例生成完全 Edwards 曲线？
• RQ4 有多少比例的参数生成原始 Edwards 曲线？这一比例如何依赖于 $q \mod 4$？
• RQ5 Edwards 曲线的同源结构能否通过其与 Legendre 曲线的联系得到完全表征？

主要发现

• 在 $\mathbb{F}_q$ 上，Edwards 曲线的同源类数量由 Legendre 曲线的同源类结构决定，而该结构已由 Katz 的结果完全分类。
• 每个 Edwards 曲线的同源类中至少包含一个完全 Edwards 曲线，且每个同源类中此类 $d$ 值的数量可通过 Deuring 风格的类数公式计算。
• 在 $\mathbb{F}_q$ 上，Edwards 曲线 $E_d$ 同源于原始 Edwards 曲线，当且仅当其群阶在 $q \equiv -1 \pmod{4}$ 时被 8 整除，在 $q \equiv 1 \pmod{4}$ 时被 16 整除。
• 当 $q \equiv -1 \pmod{4}$ 时，生成完全 Edwards 曲线的 $d$ 的比例与生成原始曲线的比例由同一公式决定；当 $q \equiv 1 \pmod{4}$ 时，该比例通过 Katz 的比值定理推导得出。
• 对于每个同源类，$d \in \mathbb{F}_q \setminus \{0,1\}$ 使得 $E_d$ 为完全 Edwards 曲线的比例可通过 Deuring 公式与至 Legendre 曲线的 2-同源显式计算。
• 本文证明了当 $q \equiv 1 \pmod{4}$ 时，$E_d$ 与 $E_{1-d}$ 在 $\mathbb{F}_q$ 上是 4-同源的；更一般地，$E_d$ 与另外五条 Edwards 曲线 4-同源，具体取决于 $-1$、$d$ 和 $1-d$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中的二次特征。