[论文解读] On Isolated Singularities of Fractional Semi-Linear Elliptic Equations

Hui Yang, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文研究了在原点具有孤立奇点的分数阶半线性椭圆方程 $(-Δ)^\sigma u = u^p$ 的非负解的局部行为，其中 $\sigma \in (0,1)$ 且 $\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$。通过使用 Caffarelli-Silvestre 扩展方法，结合爆破法与一类 Liouville 型定理，作者建立了精确的上界，并证明了奇点要么可去，要么解在原点附近的行为类似于 $|x|^{-2\sigma/(p-1)}$，从而将经典拉普拉斯算子情形（$\sigma=1$）的结果推广至分数阶情形。

ABSTRACT

In this paper, we study the local behavior of nonnegative solutions of fractional semi-linear equations $(-Δ)^σu = u^p$ with an isolated singularity, where $\sg \in (0, 1)$ and $\frac{n}{n-2\sg} &lt; p &lt; \frac{n+2\sg}{n-2\sg}$. We first use blow up method and a Liouville type theorem to derive an upper bound. Then we establish a monotonicity formula and a sufficient condition for removable singularity to give a classification of the isolated singularities. When $\sg=1$, this classification result has been proved by Gidas and Spruck (Comm. Pure Appl. Math. 34: 525-598, 1981).

研究动机与目标

• 对 $B_1 \setminus \{0\}$ 中非负解 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 的孤立奇点性质进行分类，其中 $\sigma \in (0,1)$ 且 $p$ 属于次临界范围。
• 将 Gidas 与 Spruck（1981 年）针对拉普拉斯算子（$\sigma=1$）的经典分类结果推广至分数阶拉普拉斯情形。
• 利用扩展方法与单调性公式，建立奇异解在原点附近衰减速率的精确点态估计。
• 证明：奇点要么可去（即 $u$ 可连续延拓至原点），要么当 $x \to 0$ 时有 $u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$。
• 通过构造合适的障碍函数并针对精心选择的截断函数进行测试，克服分数阶情形下 Pohozaev 恒等式缺失的问题。

提出的方法

• 利用 Caffarelli-Silvestre 扩展方法，将 $\mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ 上的分数阶方程 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 转化为上半空间 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 中的退化椭圆问题。
• 结合爆破法与一类 Liouville 型定理，推导出形如 $u(x) \leq c |x|^{-2\sigma/(p-1)}$ 的上界。
• 构造障碍函数 $\Phi = |X|^{-\tau} - \delta t^{2\sigma} |X|^{-(\tau+2\sigma)}$，其中 $\tau = \frac{n-2\sigma}{p-1}(p - \frac{n}{n-2\sigma})$，以检验解在原点附近的性质。
• 应用加权散度定理，并将解 $U$ 对障碍 $\zeta \Phi$ 进行测试，其中 $\zeta$ 为径向截断函数，以导出积分估计。
• 利用 Harnack 不等式控制扩展空间中 $U$ 的增长，从而获得与 $\epsilon$ 无关的统一有界性。
• 在假设 $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ 下，利用 $u^{p-1}$ 沿 $|x| \to 0$ 的衰减性，证明其可积性，并最终得出奇点的可去性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\sigma \in (0,1)$ 且 $\frac{n}{n-2\sigma} < p < \frac{n+2\sigma}{n-2\sigma}$，非负解 $(-\Delta)^\sigma u = u^p$ 在原点具有孤立奇点时，其精确渐近行为是什么？
• RQ2 在何种条件下孤立奇点可去，即解能否连续延拓至原点？
• RQ3 当奇点不可去时，解在原点附近的衰减速率如何？
• RQ4 Gidas 与 Spruck 针对 $\sigma=1$ 的经典分类结果能否推广至分数阶情形 $\sigma \in (0,1)$？
• RQ5 在分数阶情形下，如何克服 Pohozaev 恒等式缺失的问题，以获得点态估计？

主要发现

• 解 $u(x)$ 在原点附近满足上界估计 $u(x) \leq c_2 |x|^{-2\sigma/(p-1)}$，其中 $c_2 > 0$ 为某常数。
• 若奇点不可去，则 $u(x)$ 满足精确下界 $c_1 |x|^{-2\sigma/(p-1)} \leq u(x)$，其中 $c_1 > 0$，因此当 $x \to 0$ 时有 $u(x) \sim |x|^{-2\sigma/(p-1)}$。
• 在 $\mathbb{R}^{n+1}_+$ 中的扩展解 $U(X)$ 由于 Harnack 不等式，满足 $C_1 |X|^{-2\sigma/(p-1)} \leq U(X) \leq C_2 |X|^{-2\sigma/(p-1)}$，在原点附近成立。
• 当 $\liminf_{x \to 0} |x|^{2\sigma/(p-1)} u(x) = 0$ 时，奇点可去，即 $u$ 可连续延拓至原点。
• 证明依赖于构造障碍函数 $\Phi$ 并将其与截断函数 $\zeta$ 进行测试，从而导出 $u |x|^{-(n - 2\sigma/(p-1))}$ 的统一 $L^1$ 有界性，进而推出其可积性与奇点的可去性。
• 该结果将 Gidas 与 Spruck（1981 年）在 $\sigma=1$ 情形的经典结果推广至分数阶情形，实现了对次临界范围内孤立奇点的完整分类。