[论文解读] ON JET BUNDLES AND GENERALIZED VERMA MODULES

Helge Øystein Maakestad|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本论文通过高阶直接像、消去理想与李理论技巧，建立了格拉斯曼流形上第l重切丛纤维与广义韦拉模形式的典范滤过之间的精确对应关系。关键结果为：格拉斯曼流形上任意线丛的第l个判别式在1 ≤ l ≤ d时均为不可约的。

ABSTRACT

The aim of this paper is to initiate a study of the jet bundles on the grassmannian $X$ over a field of characteristic zero using higher direct images of $G$-linearized sheaves, Lie theoretic methods, enveloping algebra theoretic methods and generalized Verma modules. We calculate the $P$-module of the dual jet bundle $J^l(L)^*$ and prove it equals the $l$'th piece of the canonical filtration for $H^0(X,L)^*$. We use the results obtained to prove the discriminant of any linear system on any grassmannian is irreducible.

研究动机与目标

• 使用表示论工具描述格拉斯曼流形上第l重切丛纤维的P-模结构。
• 将齐性空间上的切丛与广义韦拉模形式及不可约SL(V)-模的典范滤过联系起来。
• 将此描述应用于格拉斯曼流形上线性系统判别式的研究所。
• 利用切丛纤维的P-模结构，证明1 ≤ l ≤ d时第l个判别式Dl(OX(d))的不可约性。
• 为通过源自切丛的双复形构造判别式理想层的解析提供基础。

提出的方法

• 利用G-线化局部自由层在G/P上的范畴与有限维P-模范畴之间的等价性，将几何对象转化为表示论对象。
• 应用G-线化层的高阶直接像，通过纤维积X × X上的导出函子形式化，分析切丛Pl_X(OX(d))。
• 构造泰勒态射T^l: H^0(X, OX(d)) ⊗ OX → Pl_X(OX(d))，并证明当1 ≤ l ≤ d时其为满射。
• 利用泛包络代数U(g)与最高权向量的消去理想，显式定义全局截面H^0(X, OX(d))∗的典范滤过Ul(g)v。
• 通过广义韦拉模形式构造，利用同构Pl_X(OX(d))(x)* ≅ Ul(g)v将切丛纤维识别为P-模。
• 应用博特定理计算切丛外幂的上同调群，从而通过柯尔祖复形与双复形研究余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在齐性空间G/P的特殊点x ∈ G/P处，第l重切丛Pl_X(OX(d))的纤维Pl_X(OX(d))(x)*的P-模结构是什么？
• RQ2 如何利用泛包络代数与消去理想，显式描述H^0(X, OX(d))∗的典范滤过Ul(g)v？
• RQ3 在格拉斯曼流形X = G(m, m+n)上，线丛OX(d)的第l个判别式Dl(OX(d))在1 ≤ l ≤ d时是否不可约？
• RQ4 能否使用表示论工具计算切丛Pl_X(OX(d))外幂的上同调，以研究判别式的余关系？
• RQ5 如何利用源自切丛的双复形构造Dl(OX(d))理想层的解析？

主要发现

• 在特殊点x ∈ G/P处，第l重切丛纤维Pl_X(OX(d))(x)*作为P-模同构于Ul(g)v，其中Ul(g)v为H^0(X, OX(d))∗的典范滤过之第l个分量。
• Ul(g)v的K-维数为dim_K(Ul(g)v) = (mn + l choose l)，与切丛纤维的维数一致，从而证明该同构为向量空间同构。
• 泰勒态射T^l: H^0(X, OX(d)) ⊗ OX → Pl_X(OX(d))在所有1 ≤ l ≤ d时为满射，此为关键技术结果，使切丛可作为商丛构造。
• 当1 ≤ l ≤ d时，第l个判别式Dl(OX(d))不可约，此结论由层Q_l,d的局部自由性及[12, 推论2.6]的应用所证明。
• 外幂∧^i Pl_X(OX(d))(x)*作为P-模同构于∧^i Ul(g)v，且该滤过具有不可约商模，从而可通过博特定理进行上同调计算。
• 双复形Ci,j(T^l) = OX(−i) ⊗ H^j(X, ∧^i Pl_X(OX(d))∗)可用于研究Dl(OX(d))的余关系，其上同调群可通过典范滤过与消去理想计算。