[论文解读] On joint estimates for maximal functions and singular integrals in weighted spaces

María Carmen Reguera, James Scurry|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2011

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文通过构造显式反例，推翻了Muckenhoupt-Wheeden猜想，展示了在某些权函数下，Hardy-Littlewood极大算子在$L^p(w)$上有界，而Hilbert变换却无界，尽管在$A_p$类中这两个算子是等价的。作者使用了不满足加倍条件、紧支集且在正测度集上消失的权函数，利用其缺乏严格正性，打破了极大函数与奇异积分有界性之间的关联。

ABSTRACT

We consider a conjecture attributed to Muckenhoupt and Wheeden which suggests a positive relationship between the continuity of the Hardy-Littlewood maximal operator and the Hilbert transform in the weighted setting. Although continuity of the two operators is equivalent for $A_p$ weights with $1 < p < \infty$, through examples we illustrate this is not the case in more general contexts. In particular, we study weights for which the maximal operator is bounded on the corresponding $L^p$ spaces while the Hilbert transform is not. We focus on weights which take the value zero on sets of non-zero measure and exploit this lack of strict positivity in our constructions. These type of weights and techniques have been explored previously in Reguera \cite{1008.3943} and Reguera-Thiele \cite{1011.1767}.

研究动机与目标

• 为了推翻Muckenhoupt与Wheeden提出的猜想，该猜想认为在双权情形下，Hardy-Littlewood极大算子与Hilbert变换的有界性之间存在深层联系。
• 为了证明在$A_p$类之外，极大算子的有界性并不蕴含Hilbert变换的有界性。
• 为了显式构造出权函数的例子——特别是不满足加倍条件、紧支集且在正测度集上消失的权函数——使得极大算子有界但Hilbert变换无界。
• 为了将先前针对 dyadic 算子和 $L^1$ 端点估计的反例推广至完整的 Calderón-Zygmund 设置以及 $L^p$ 空间（$1 < p < \infty$）。
• 为了表明 Muckenhoupt-Wheeden 猜想的必要方向在一般情况下不成立，意味着在双权情形下，两个算子之间不存在先验关系。

提出的方法

• 构造权函数 $u$，使得 $M: L^p(u) \to L^p(u)$ 有界，但 $H: L^p(u) \to L^p(u)$ 无界，使用不满足加倍条件、紧支集且在正测度集上消失的权函数。
• 采用 Reguera [1008.3943] 和 Reguera-Thiele [1011.1767] 的框架，他们证明在非-$A_p$ 权函数下，奇异积分的抵消性质可以被避免。
• 定义权函数 $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$，以检验 $M$ 在 $L^p(v) \to L^p(w)$ 和 $L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$ 中的联合有界性，同时证明 $H$ 从 $L^p(v)$ 到 $L^p(w)$ 无界。
• 利用 Nazarov 等人证明的 $A_1$ 权函数下弱型估计 (1.13) 失效的事实，构造反例，使得预期的弱型控制不成立。
• 应用双权理论中的技术，包括科罗纳分解和测试条件，分析 Muckenhoupt-Wheeden 猜想的失效。
• 利用 $A_p$ 权函数几乎处处正的性质，构造违反该性质的权函数，从而破坏极大算子与奇异积分有界性之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $A_p$ 类之外，Hardy-Littlewood 极大算子在 $L^p(w)$ 上的有界性是否足以保证 Hilbert 变换在 $L^p(w)$ 上的有界性？
• RQ2 能否构造一个权函数 $w$，使得 $M$ 在 $L^p(w)$ 上有界，但 $H$ 无界，即使 $w$ 不属于 $A_p$ 类？
• RQ3 Muckenhoupt-Wheeden 猜想在双权情形下对一般权函数是否成立？是否存在极大算子有界但奇异积分无界的反例？
• RQ4 $A_p$ 权函数的严格正性在极大算子与奇异积分有界性等价性中起什么作用？
• RQ5 能否利用 $A_1$ 权函数下 Hilbert 变换弱型估计的失效，来构造 $L^p$ 空间（$1 < p < \infty$）中的强型反例？

主要发现

• 本文构造了一个非平凡的权函数 $u$，使得对任意 $1 < p < \infty$，都有 $M: L^p(u) \to L^p(u)$ 有界，但 $H: L^p(u) \to L^p(u)$ 无界。
• 对于权函数 $w$ 和 $v = \left(\frac{Mw}{w}\right)^p w$，极大算子同时满足 $M: L^p(v) \to L^p(w)$ 和 $M: L^{p'}(w^{1-p'}) \to L^{p'}(w/(Mw)^{p'})$，但 $H: L^p(v) \to L^p(w)$ 无界。
• 提供了一个例子，其中 $M(\cdot \gamma): L^2(\gamma) \not\to L^2(\lambda)$，但 $H(\cdot \gamma): L^2(\gamma) \to L^2(\lambda)$ 有界，表明 Muckenhoupt-Wheeden 猜想的必要方向不成立。
• 所构造的权函数不属于任何 $A_p$ 类；它们是紧支集且不满足加倍条件，因此与标准的 $A_p$ 权函数不同。
• 反例依赖于在正测度集上消失的权函数，从而破坏了在 $A_p$ 情况下支撑算子等价性的抵消机制。
• 结果表明，在双权情形下，极大算子与 Hilbert 变换的有界性之间不存在先验关系，即使极大算子有界。