[论文解读] On Kähler manifolds with positive orthogonal bisectional curvature

X. X. Chen|ArXiv.org|Jun 9, 2006

Geometry and complex manifolds参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文证明了任意具有正正交双截面曲率的紧致不可约凯勒流形都与复射影空间 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$ 共形微分同构，从而推广了弗兰克尔猜想。通过凯勒-里奇流，证明了正交双截面曲率、数量曲率、里奇曲率以及全纯截面曲率的正性在流下保持不变，进而导致指数收敛至富比尼-斯图迪度量，并将流形分类为 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$。该结果依赖于最大值原理论证及流下的曲率演化估计。

ABSTRACT

In this paper, we study any Kähler manifold where the positive orthogonal bisectional curvature is preserved on the Kähler Ricci flow. Naturally, we always assume that the first Chern class $C_1$ is positive. In particular, we prove that any irreducible Kähler manifold with such property must be biholomorphic to $\mathbb{C}\mathbb{P}^n. $ This can be viewed as a generalization of Siu-Yau\cite{Siuy80}, Morri's solution \cite{Mori79} of the Frankel conjecture. According to [8], note that any Kähler manifold with 2-positive traceless bisectional curvature operator is preserved under Kahler Ricci flow; which in turns implies the positivity of orthogonal bisectional curvature under the flow.

研究动机与目标

• 证明紧致不可约凯勒流形若具有正正交双截面曲率，则共形微分同构于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$，从而推广弗兰克尔猜想。
• 建立在正交双截面曲率条件下，凯勒-里奇流下关键曲率量——数量曲率、里奇曲率、全纯截面曲率——的保持性。
• 证明凯勒-里奇流指数收敛至常曲率双截面曲率度量，从而表明流形为 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$。
• 研究在高维情形下，正正交双截面曲率是否蕴含第一陈类为正。

提出的方法

• 在凯勒-里奇流下对数量曲率、里奇曲率及全纯截面曲率应用最大值原理，以证明其下确界保持不变或得到改善。
• 利用曲率算子的演化方程与无迹双截面曲率，证明2-正无迹双截面曲率蕴含正正交双截面曲率。
• 利用Mabuchi能量及 $\partial\varphi/\partial t$ 的梯度的 $L^2$-范数来控制曲率收敛性。
• 分析在三种情形下流的长时间行为：Mabuchi能量有界、存在凯勒爱因斯坦度量、里奇曲率一致有下界。
• 应用迭代引理，证明 $|\nabla(\partial\varphi/\partial t)|^2$ 的点态衰减，从而推出里奇曲率趋近于凯勒形式。
• 利用曲率夹逼估计，证明双截面曲率指数收敛至富比尼-斯图迪度量的曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个具有正正交双截面曲率的紧致不可约凯勒流形是否都共形微分同构于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$？
• RQ2 在高维情形下，正交双截面曲率是否蕴含第一陈类为正？
• RQ3 在不依赖佩雷尔曼结果的前提下，凯勒-里奇流下里奇曲率的下确界是否能保持？
• RQ4 是否存在一个与初始度量相关的统一下界，使得全纯截面曲率的下确界在凯勒-里奇流下保持不变？
• RQ5 在不使用佩雷尔曼的深刻估计的前提下，能否对数量曲率进行有界控制？

主要发现

• 若初始数量曲率非正，则在凯勒-里奇流下，其下确界以指数速度衰减至零。
• 若初始里奇曲率不为正，则其下确界随时间增加，并在 $t \to \infty$ 时趋近于零。
• 若里奇曲率一致有下界 $\nu > 0$，则全纯截面曲率的下确界将在有限时间内变为正。
• 当 $\nu > \frac{1}{2}$ 时，双截面曲率的下确界将指数增长至 $\frac{2\nu - 1}{n+1}$。
• 若Mabuchi能量一致有界，则凯勒-里奇流指数收敛至具有常曲率双截面曲率的度量。
• 若流收敛至具有常曲率双截面曲率的度量，则流形共形微分同构于 $\mathbb{C}\mathbb{P}^n$，该情形在三种分析情形下发生：Mabuchi能量有界、存在凯勒爱因斯坦度量，或里奇曲率有统一下界。