[论文解读] On Kalton's interlaced graphs and nonlinear embeddings into dual Banach spaces

Bruno de Mendonça Braga, Gilles Lancien+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Advanced Banach Space Theory参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文研究了巴拿赫空间到对偶空间的非线性嵌入，重点关注卡爾頓的交錯圖及其在阻礙可分對偶空間中的粗嵌入中的作用。引入了性質 Qp 作為卡爾頓性質 Q 的改進，證明了交錯圖在對偶空間中等粗利普希茨嵌入時，其 Szlenk 指數超過 ω，並構造了一個可分對偶空間，其 Szlenk 指數為 ω²，但仍包含這些圖形，從而表明該界限是最佳的。此外，證明了 c₀ 無法以小於 3/2 的扭曲度粗略嵌入到可分對偶空間中，且不存在 c₀ 或 L₁ 到可分對偶空間的弱到弱*序列連續粗嵌入。

ABSTRACT

We study the nonlinear embeddability of Banach spaces and the equi-embeddability of the family of Kalton's interlaced graphs $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ into dual spaces. Notably, we define and study a modification of Kalton's property $\\mathcal Q$ that we call property $\\mathcal{Q}_p$ (with $p \\in (1,+\\infty]$). We show that if $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-coarse Lipschitzly embeds into $X^*$, then the Szlenk index of $X$ is greater than $\\omega$, and that this is optimal, i.e., there exists a separable dual space $Y^*$ that contains $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-Lipschitzly and so that $Y$ has Szlenk index $\\omega^2$. We prove that $c_0$ does not coarse Lipschitzly embed into a separable dual space by a map with distortion strictly smaller than $\\frac{3}{2}$. We also show that neither $c_0$ nor $L_1$ coarsely embeds into a separable dual by a weak-to-weak$^*$ sequentially continuous map.

研究动机与目标

• 研究 c₀ 和卡爾頓的交錯圖在可分對偶巴拿赫空間中的非線性可嵌入性。
• 確定在附加正則性條件（如弱到弱*序列連續性）下，是否可能實現到可分對偶空間的粗嵌入。
• 分析交錯圖的等粗利普希茨可嵌入性與對偶空間 Szlenk 指數之間的關係。
• 建立 c₀ 到可分對偶空間的粗利普希茨嵌入的精確扭曲度界限。

提出的方法

• 引入並研究一種新的性質 Qp（p ∈ (1, ∞]）作為卡爾頓性質 Q 的改進，其定義基於交錯圖上利普希茨映射的濃度不等式，比例為 k^{1/p}。
• 證明若對偶空間具有等價的 q-AUC* 對偶範數（q 為 p 的共軛指數），則其具有性質 Qp，從而將幾何巴拿赫空間性質與非線性可嵌入性聯繫起來。
• 使用 Szlenk 指數作為對偶非可分性的定量度量，證明交錯圖的等粗利普希茨可嵌入性意味著 Sz(X) > ω。
• 構造一個可分對偶空間 X∗，其 Sz(X) = ω²，但仍能通過利普希茨嵌入包含完整的交錯圖 ([N]<ω, dK)，從而證明 Szlenk 指數障礙的緊緻性。
• 證明任何 c₀ 到對偶空間 X∗ 的粗利普希茨嵌入，若扭曲度嚴格小於 3/2，則 X 必含 ℓ₁ 的同構複本。
• 利用弱到弱*序列連續性與點連續性性質（PCP），通過在單位球中構造弱收斂但范數發散的序列，排除 c₀ 和 L₁ 到可分對偶空間的粗嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 c₀ 是否能通過扭曲度嚴格小於 3/2 的粗利普希茨映射嵌入到可分對偶巴拿赫空間中？
• RQ2 是否存在一個全域的 n ∈ ℕ，使得若 c₀ 粗略嵌入到巴拿赫空間 X 中，則 X^{(n)} 非可分？
• RQ3 交錯圖 ([N]k, dK)k 的等粗利普希茨可嵌入性是否意味著對偶空間 X∗ 的 Szlenk 指數 Sz(X) 超過 ω？
• RQ4 c₀ 或 L₁ 是否能通過弱到弱*序列連續映射粗略嵌入到可分對偶空間中？
• RQ5 性質 Qp 與對偶空間中漸近一致強凸性之間的精確關係為何？

主要发现

• 若卡爾頓的交錯圖族 (([N]k, dK))k 等粗利普希茨嵌入到 X∗，則 X 的 Szlenk 指數滿足 Sz(X) > ω。
• 界限 Sz(X) > ω 是最佳的，因為存在一個可分對偶空間 X∗，其 Sz(X) = ω²，但仍能通過利普希茨嵌入包含交錯圖 ([N]<ω, dK)。
• c₀ 無法以扭曲度嚴格小於 3/2 的粗利普希茨方式嵌入到可分對偶空間中；若存在此類嵌入，則 X 必含 ℓ₁ 的同構複本。
• c₀ 和 L₁ 均無法通過弱到弱*序列連續映射粗略（或一致）嵌入到可分對偶空間中。
• 存在弱到弱*序列連續的粗嵌入到可分對偶空間中，意味著底層空間不滿足點連續性性質（PCP），而 c₀ 和 L₁ 均不滿足此性質。
• 性質 Qp 是粗利普希茨不變量；若對偶空間具有等價的 q-AUC* 對偶範數（q 為 p 的共軛指數），則其具有性質 Qp。