[论文解读] On Kaluzhnin - Krasner's embedding of groups

A. Yu. Olshanskii|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文提出了一种'节俭'版本的Kaluzhnin-Krasner嵌入，通过通过商群因子化，减少了Wreath积目标的大小，从而实现了对有限-幂阿贝尔群和幂阿贝尔群的更高效嵌入。关键贡献在于利用一种基于避免正规子群的新嵌入技术，证明了$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$和${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$各自包含$2^{\aleph_0}$个非同构的局部多循环子群。

ABSTRACT

In this note, we consider a 'thrifty' version of Kaluzhnin - Krasner's embedding in wreath products and apply it to extensions by finite groups and to metabelian groups.

研究动机与目标

• 通过通过商群因子化来开发Kaluzhnin-Krasner嵌入的更高效版本，以减小目标Wreath积的大小。
• 将此优化后的嵌入应用于有限群扩张和有限生成的幂阿贝尔群。
• 展示在某些Wreath积中存在不可数多个非同构子群，特别是$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$和${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$。

提出的方法

• 引入一个修改后的嵌入$\kappa: G \to \bar{A} {\rm Wr} B$，其中$\bar{A} = A/C$，且$C$不包含$G$的任何非平凡正规子群，使用一个截面$s: B \to G$。
• 通过$\kappa(g) = \pi(g) \bar{f}_g$定义嵌入，其中$\bar{f}_g(x) = \overline{(x\pi(g)^{-1})^s \, g \, (x^s)^{-1}}$。
• 利用$C$不包含任何非平凡$G$-正规子群的条件，证明$\kappa$的单射性，从而确保嵌入是忠实的。
• 将该嵌入应用于$A$为共轭子群的直积且$N_G(H) = A$的群扩张，表明$G$可分解为一个Wreath积。
• 利用$\mathbb{F}_p$和$\mathbb{Q}$上的不可约表示结构，在$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$和${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$中构造出不可数多个非同构子群。
• 利用有限生成阿贝尔群的基本定理，构造子Wreath积之间的同构，以保持嵌入结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过通过商群因子化来使Kaluzhnin-Krasner嵌入更高效，以减小目标Wreath积的大小？
• RQ2 优化后的嵌入是否允许将有限生成的幂阿贝尔群嵌入到基群更小的阿贝尔群的Wreath积中？
• RQ3 像$({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$和${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$这样的Wreath积是否包含不可数多个非同构子群？
• RQ4 能否利用$\mathbb{F}_p$和$\mathbb{Q}$上的不可约表示结构，在具有无限活动群的Wreath积中生成不可数多个非同构子群？
• RQ5 在群$G$具有正规子群$A$和$G$-不变正规子群$C \trianglelefteq A$的条件下，$G$是否能嵌入到$\bar{A} {\rm Wr} B$中，其中$\bar{A} = A/C$？

主要发现

• 本文构造了一个节俭嵌入$\kappa: G \to \bar{A} {\rm Wr} B$，其中$\bar{A} = A/C$，当$C$不包含任何非平凡$G$-正规子群时，该嵌入是单射的。
• 嵌入$\kappa$满足$\kappa(A) \leq \bar{F}$且$\kappa(G)\bar{F} = \bar{A} {\rm Wr} B$，确保像在基群中是满的。
• 对于任意有限生成的幂阿贝尔群$G$，存在$n,m \geq 1$，使得$G$可嵌入到一个Wreath积$D_n {\rm Wr} B$中，其中$D_n$是有限阿贝尔群，$B$是无限阿贝尔群。
• $({\bf Z}/p{\bf Z}){\rm Wr}\,{\bf Z}$包含$2^{\aleph_0}$个非同构子群，每个子群均为局部有限-循环群。
• ${\bf Z}{\rm Wr}\,{\bf Z}$包含$2^{\aleph_0}$个可数、局部多循环、非同构的子群。
• 该构造依赖于$\langle b \rangle$在$\mathbb{F}_p$和$\mathbb{Q}$上的非同构不可约表示，这些表示在相应的Wreath积中产生不同的子群结构。