[论文解读] On Kirchhoff type equations with critical Sobolev exponent and Naimen's open problems

Yisheng Huang, Zeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文研究了四维有界区域中具有临界Sobolev指数的Kirchhoff型方程，聚焦于不同参数下解的存在性与非存在性。通过变分法与摄动技术，本文在不定情况（λ ≥ aλ₁）下建立了新的存在性结果，并刻画了解的渐近行为，解决了Naimen提出的关于参数依赖解结构与紧致性问题的开放问题。

ABSTRACT

We study the following Brezis-Nirenberg problem of Kirchhoff type $$ \left\{\aligned &-(a+b\int_Ω| abla u|^2dx)Δu = λ|u|^{q-2}u + δ|u|^{2}u, &\quad ext{in}\ Ω, \\ &u=0,& ext{on}\ \partialΩ, \endaligned ight. $$ where $Ω\subset \bbr^4$ is a bounded domain with the smooth boundary $\partialΩ$, $2\leq q<4$ and $a$, $b$, $λ$, $δ$ are positive parameters. We obtain some new existence and nonexistence results, depending on the values of the above parameters, which improves some known results. The asymptotical behaviors of the solutions are also considered in this paper.

研究动机与目标

• 解决四维空间中Kirchhoff型方程具有临界非线性时解的存在性与渐近行为的开放问题。
• 分析不定情况λ ≥ aλ₁，其中算子−aΔ − λ非正定，克服紧致性与Palais-Smale序列有界性方面的挑战。
• 阐明参数b、δ与λ在决定解的存在性中的作用，特别是当b𝒮² ≤ δ或b𝒮² < δ时。
• 将已知的Brezis-Nirenberg问题结果推广至具有临界指数的非局部Kirchhoff情形。
• 通过山路定理与特征值分析，在特定参数区域内建立多重解的存在性。

提出的方法

• 采用变分法研究H₀¹(Ω)上的能量泛函I_b(u) = (a/2)‖u‖² + (b/4)‖u‖⁴ − (δ/4)‖u‖₄⁴ − (λ/q)‖u‖_q^q。
• 使用摄动技术分析b → 0⁺时的极限，将其与经典Brezis-Nirenberg问题联系起来。
• 在有界性假设下，利用紧嵌入H₀¹(Ω) ↪ L⁴(Ω)与Sobolev常数，验证了(PS)_c条件。
• 通过分析泛函f(t) = I_b(tu)及其导数f’(t)，推导出Palais-Smale序列的先验界。
• 研究形如−(a + b‖∇u‖²)Δu = λu的特征值问题，以刻画解的结构与基态解。
• 应用Ekeland变分原理，在泛函具强制性且有下界时寻找其临界点。

实验结果

研究问题

• RQ1 当λ ≥ aλ₁时，Kirchhoff型方程的解集会发生什么变化，特别是在不定情况下？
• RQ2 参数b、δ与λ如何影响临界指数情形下解的存在性与多重性？
• RQ3 当b → 0⁺或δ → b𝒮²时，解的渐近行为如何？
• RQ4 在有界性条件下，泛函I_b是否满足(PS)_c条件，这如何影响紧致性？
• RQ5 在何种条件下方程存在多重非平凡解，特别是当δ < b𝒮²或δ = b𝒮²时？

主要发现

• 当λ ∈ (aλ₁, aλ₂]时，特征值问题(1.4)具有唯一的正基态解u = √[(λ − aλ₁)/(bλ₁²)] φ₁₁。
• 当λ ∈ (aλₖ, aλₖ₊₁]且k ≥ 2时，方程(1.4)具有唯一的正基态解及形如u̅ⱼ = √[(λ − aλⱼ)/(bλⱼ²)] ψⱼ的变号解，其中ψⱼ ∈ M(λⱼ)。
• 当0 < δ < b𝒮²时，泛函I_b是强制的且有下界，通过Ekeland原理可保证至少存在一个非平凡解。
• 当b > 0较小时，方程至少存在两个不同的非平凡解：一个来自I_b的下确界，另一个通过山路定理获得。
• 若Palais-Smale序列有界，则泛函I_b对所有c ∈ ℝ满足(PS)_c条件，该结论通过紧嵌入与Sobolev不等式得以确立。
• 当b𝒮² < δ时，泛函f(t) = I_b(tu)满足对所有t > 0有f’(t) ≥ 0，若f(1) = 0且f(0) = 0，则导致矛盾，表明在某些参数约束下无解存在。