[论文解读] On Kiselman's semigroup

Ganna Kudryavtseva, Volodymyr Mazorchuk|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2005

semigroups and automata theory参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文对凸性理论中三元幺半群的推广——Kiselman半群 $\mathrm{K}_n$ 进行了全面的代数研究。它构造了一个具有非负整数元素的忠实 $n \times n$ 矩阵表示，证明了该尺寸的最小性，并完整描述了格林关系、自同构、幂等元、不可约表示以及半群代数的结构，确立了 $\mathrm{K}_n$ 为拟赫尔德代数。

ABSTRACT

We study the algebraic properties of the series $\mathrm{K}_n$ of semigroups, which is inspired by \cite{Ki} and has origins in convexity theory. In particular, we describe Green's relations on $\mathrm{K}_n$, prove that there exists a faithful representation of $\mathrm{K}_n$ by $n imes n$ matrices with non-negative integer coefficients (and even explicitly construct such a representation), and prove that $\mathrm{K}_n$ does not admit a faithful representation by matrices of smaller size. We also describe the maximal nilpotent subsemigroups in $\mathrm{K}_n$, all isolated and completely isolated subsemigroups, all automorphisms and anti-automorphisms of $\mathrm{K}_n$. Finally, we explicitly construct all irreducible representations of $\mathrm{K}_n$ over any field and describe primitive idempotents in the semigroup algebra (which we prove is basic).

研究动机与目标

• 系统研究 $\mathrm{K}_n$ 的代数结构，该结构是凸性理论中三元幺半群的推广。
• 建立在非负整数上存在一个忠实的 $n \times n$ 矩阵表示，并证明其尺寸的最小性。
• 完整描述 $\mathrm{K}_n$ 中的格林关系、自同构、反自同构以及孤立子半群。
• 在任意域上构造 $\mathrm{K}_n$ 的所有不可约表示，并分析半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$。
• 证明 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 是一个拟赫尔德代数，且其标准投影模成立。

提出的方法

• 以 $\mathrm{K}_n = \langle a_1,\dots,a_n : a_i^2 = a_i,\ a_ia_ja_i = a_ja_ia_j = a_ja_i\ \text{for}\ i < j \rangle$ 作为基础代数定义。
• 应用引理1以约化字词并界定最小字代表的长度，从而得出界 $\mathfrak{l}(w) \leq L(n)$。
• 通过在 $\{1,\dots,n\}$ 的子集上的作用构造一个忠实的 $n \times n$ 矩阵表示，使用幂等基 $e_X^{(n)}$。
• 利用 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 在 $X \neq \{1,\dots,n\}$ 时不忠实的事实，证明矩阵尺寸的最小性，从而说明不存在更小的忠实矩阵表示。
• 通过归纳分解 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 为直和 $P_1 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n a_n$ 与 $P_2 = \mathbb{K}\mathrm{K}_n (e - a_n)$，并利用 $\mathrm{Hom}(P_1, P_2) = 0$ 的性质，证明其方向性与拟赫尔德性。
• 通过投影模 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 显式构造不可约表示，并通过同构于 $\mathbb{K}\mathrm{K}_{n-1}$ 的方式分析自同态代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个忠实的 $n \times n$ 矩阵表示，其元素为非负整数，且该尺寸是否最小？
• RQ2 什么是 $\mathrm{K}_n$ 的格林关系、自同构与反自同构？
• RQ3 $\mathrm{K}_n$ 的哪些子半群是孤立或完全孤立的？
• RQ4 在任意域上，$\mathrm{K}_n$ 的不可约表示是什么？其半群代数的结构如何？
• RQ5 半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 是否为拟赫尔德代数？若是，其结构相对于何种序成立？

主要发现

• 半群 $\mathrm{K}_n$ 允许一个通过 $\{1,\dots,n\}$ 的子集作用显式构造的、具有非负整数元素的忠实 $n \times n$ 矩阵表示。
• 不存在比 $n \times n$ 更小的忠实矩阵表示，因为当 $X \neq \{1,\dots,n\}$ 时，$\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$ 不是忠实的。
• 对 $\mathrm{K}_n$ 的格林关系已完整描述，其中 $\mathcal{L}$-类由 $\{1,\dots,n\}$ 的子集 $X$ 索引。
• $\mathrm{K}_n$ 的自同构群是平凡的，反自同构群也是平凡的，表明其具有高度的非对称性。
• $\mathrm{K}_n$ 在任意域上的所有不可约表示都同构于投影模 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n e_X^{(n)}$，且半群代数 $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 是基本的且为拟赫尔德代数。
• $\mathbb{K}\mathrm{K}_n$ 关于子集上的线性序是方向的，并具有拟赫尔德结构，其标准模块为投影模。