[论文解读] On Kolmogorov entropy compactness estimates for scalar conservation laws without uniform convexity

Fabio Ancona, Olivier Glass+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文将标量守恒律熵弱解的定量紧致性估计从一致凸通量推广至非一致凸通量函数，包括严格凸通量及具有单个拐点的通量。通过利用通量导数的有界变差与熵熵技术，建立了L¹_loc中解集的Kolmogorov ε-熵的最优上下界，表明紧致性标度由f′(ε)决定，而非一致凸情形下的1/ε。

ABSTRACT

In the case of scalar conservation laws $$ u_{t} + f(u)_{x}~=~0,\\qquad t\\geq 0, x\\in\\mathbb{R}, $$ with uniformly strictly convex flux $f$, quantitative compactness estimates - in terms of Kolmogorov entropy in ${\\bf L}^{1}_{loc}$ - were established in~\\cite{DLG,AON1} for sets of entropy weak solutions evaluated at a fixed time $t>0$, whose initial data have a uniformly bounded support and vary in a bounded subset of ${\\bf L}^\\infty$. These estimates reflect the irreversibility features of entropy weak discontinuous solutions of these nonlinear equations. We provide here an extension of such estimates to the case of scalar conservation laws with a smooth flux function $f$ that either is strictly (but not necessarily uniformly) convex or has a single inflection point with a polynomial degeneracy.

研究动机与目标

• 将基于Kolmogorov ε-熵的定量紧致性估计扩展至通量函数为严格凸但非一致凸，或具有单个拐点且多项式退化的标量守恒律。
• 解决在缺乏一致凸性时有界变差（BV）界不成立的问题，此时经典Oleínik不等式失效，解可能具有无界变差。
• 为具有紧支集的有界初始数据集建立解半群S_t(𝒞)的ε-熵的精确上下界。
• 证明紧致性标度由f′(ε)而非1/ε决定，反映出通量在临界点附近的退化特性。
• 将先前针对一致严格凸通量的结果推广至更广泛的光滑通量类，其在拐点处具有受控的非平坦性。

提出的方法

• 利用f′∘u的正变差控制正时间解的总变差，即使f不是一致凸的。
• 通过利用f的有界性与光滑性，构造{f′∘u | u ∈ 𝒞}的ε′-覆盖，其基数约为2^{a/ε′}。
• 通过变换将ε′-覆盖映射为解集S_t(𝒞)的ε-覆盖，其中ε′ = f′(ε)，得到大小约为2^{(a+1)/ε′}的覆盖。
• 应用熵数理论与度量熵估计，以界定L¹_loc中解集的Kolmogorov ε-熵。
• 通过f′∘u的有界正变差将解集嵌入BV空间，依赖于[6, 8, 13]中的结果。
• 通过与分段常数函数的模型集比较，利用冲击层结构与通量凸性/凸性变化特性，推导下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于非一致凸通量函数的标量守恒律，解半群S_t的紧致性行为如何？
• RQ2 当f为严格凸但非一致凸时，有界初始数据集在S_t下的像的Kolmogorov ε-熵的最优标度为何？
• RQ3 能否将熵紧致性估计推广至具有单个拐点和多项式退化的通量函数？
• RQ4 ε-熵对通量临界点附近f′(ε)的局部行为有何依赖？
• RQ5 ε-熵的上界是否最优？在非一致凸情形下能否建立匹配的下界？

主要发现

• 对于在零附近满足f′′(u) ≥ c|u|^{m-1}的严格凸通量，S_t(𝒞)的ε-熵上下界均与1/f′(ε)成正比，且当m ≥ 2时f′(ε) ~ ε^{m-1}。
• 在f^{(m+1)}(0) ≠ 0的单个拐点情形下，ε-熵按1/ε^m缩放，反映出通量的退化程度。
• ε-熵的上界阶为1/f′(ε)，推广了一致凸情形下的1/ε缩放。
• 下界与上界阶一致，证明了在非一致凸情形下熵估计的最优性。
• 结果表明，解半群S_t的紧致性由f′(u)在u=0附近的局部非退化性决定，而非一致凸性。
• 分析表明，只要在拐点处满足非平坦性条件，即使通量不具一致凸性，熵紧致性估计依然保持最优。