[论文解读] On Koszul duality for Kac-Moody groups

Roman Bezrukavnikov, Zhiwei Yun|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 19被引用 10

一句话总结

本文在 Kac-Moody 群 G 的旗簇 G/B 上建立了 B-等变混合复形的导出范畴与 Langlands 对偶群 G∨ 的增强旗簇 G∨/U∨ 上 B∨-殆纯混合复形的完成导出范畴之间的单边 Koszul 对偶等价。该对偶将交点上同调层与自由殆纯的倾斜层互换，推广了对半单群的早期结果，并将倾斜版本的 Koszul 对偶推广至具有单边结构的 Kac-Moody 设置。

ABSTRACT

For any Kac-Moody group $G$ with Borel $B$, we give a monoidal equivalence between the derived category of $B$-equivariant mixed complexes on the flag variety $G/B$ and (a certain completion of) the derived category of $B^\vee$-monodromic mixed complexes on the enhanced flag variety $G^\vee/U^\vee$, here $G^\vee$ is the Langlands dual of $G$. We also prove variants of this equivalence, one of which is the equivalence between the derived category of $U$-equivariant mixed complexes on the partial flag variety $G/P$ and certain "Whittaker model" category of mixed complexes on $G^\vee/B^\vee$. In all these equivalences, intersection cohomology sheaves correspond to (free-monodromic) tilting sheaves. Our results generalize the Koszul duality patterns for reductive groups in the work of Beilinson, Ginzburg and Soergel .

研究动机与目标

• 将倾斜版本的 Koszul 对偶从半单群推广至任意 Kac-Moody 群。
• 在 Kac-Moody 设置下建立等变与殆纯范畴之间的单边等价，克服这些范畴中缺乏足够投射对象的问题。
• 通过用倾斜对象替代投射对象，推广 [BGS96] 中的对偶模式，后者更适用于单边结构。
• 证明在对偶下，交点上同调层与自由殆纯的倾斜层一一对应，同时保持几何与表示论结构。

提出的方法

• 通过函子 Φ 在 G/B 上 B-等变混合复形的导出范畴与 G∨/U∨ 上 B∨-殆纯混合复形的导出范畴的完成之间构造单边等价。
• 使用 DG 模型处理 Kac-Moody 群及其旗簇的无限维性质。
• 运用平均函子，特别是 avχ 和 V，来关联抛物与 Whittaker 范畴，并构造对偶函子。
• 通过拟对象与滤子三角范畴引入殆纯范畴的完成，以处理 ind-概形与非紧致性。
• 应用增强旗簇设置下自由殆纯倾斜层及其性质的理论。
• 通过验证函子 Φ 保持 t-结构，并将标准与余标准层映射为其对偶对应物，从而验证对偶性，其中 IC 层映射至倾斜层。

实验结果

研究问题

• RQ1 Koszul 对偶如何从半单群推广至 Kac-Moody 群，特别是在缺乏足够投射对象的情况下？
• RQ2 在 Kac-Moody 设置下，保持单边结构的 Koszul 对偶的正确表述是什么？
• RQ3 在该推广设置下，交点上同调层如何通过对应关系体现？
• RQ4 Whittaker/抛物 Whittaker 对偶的变体能否通过殆纯范畴推广至 Kac-Moody 群？
• RQ5 自由殆纯倾斜层在对偶中起什么作用？它们在单边语境下如何替代投射对象？

主要发现

• 在 G/B 上 B-等变混合复形的导出范畴与 G∨/U∨ 上 B∨-殆纯混合复形的导出范畴的完成之间建立了单边等价。
• 在对偶下，G/B 上的交点上同调层与 G∨/U∨ 上的自由殆纯倾斜层精确对应。
• 该等价性可推广至抛物与 Whittaker 范畴，存在 U-等变复形在 G/P 上与 G∨/B∨ 上 Whittaker 型复形之间的变体等价。
• 该等价性与 Lefschetz 代数及 Picard-Lefschetz sl(2) 代数的作用相容，推广了经典 Koszul 对偶的几何特征。
• 该构造通过将倾斜版本的对偶实现为单边函子，验证了 [BG99] 中的猜想，适用于 Kac-Moody 设置。
• 使用 DG 模型与完成结构使形式系统在 Kac-Moody 旗簇的无限维性质下仍能严格定义。