[论文解读] On KP-integrable skew Hurwitz $τ$-functions and their $β$-deformations

A. Mironov, V. Mishnyakov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2023

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 5

一句话总结

本文将割补-连接算符形式化推广至KP可积的斜Hurwitz τ函数，通过斜Schur函数与Jack多项式引入一族多参数τ函数。建立了其与带外部场的多矩阵模型的等价性，并表明β变形通过w∞的交换子代数导致有理与三角型Calogero-Sutherland哈密顿量。

ABSTRACT

We extend the old formalism of cut-and-join operators in the theory of Hurwitz $τ$-functions to description of a wide family of KP-integrable {\it skew} Hurwitz $τ$-functions, which include, in particular, the newly discovered interpolating WLZZ models. Recently, the simplest of them was related to a superintegrable two-matrix model with two potentials and one external matrix field. Now we provide detailed proofs, and a generalization to a multi-matrix representation, and propose the $β$ deformation of the matrix model as well. The general interpolating WLZZ model is generated by a $W$-representation given by a sum of operators from a one-parametric commutative sub-family (a commutative subalgebra of $w_\infty$). Different commutative families are related by cut-and-join rotations. Two of these sub-families (`vertical' and `45-degree') turn out to be nothing but the trigonometric and rational Calogero-Sutherland Hamiltonians, the `horizontal' family is represented by simple derivatives. Other families require an additional analysis.

研究动机与目标

• 将割补-连接算符形式化推广至斜Hurwitz τ函数，扩展先前关于超几何τ函数的研究结果。
• 为插值WLZZ模型建立多矩阵模型表示，特别是(1,1)与(n,n)情形。
• 发展斜Hurwitz τ函数的β变形，保持可积性，并揭示其与Calogero-Sutherland系统的联系。
• 证明w∞的不同交换子代数——“竖直”、“水平”与“45度”——分别对应于不同的可积系统，包括有理与三角型Calogero-Sutherland模型。
• 阐明旋转算符在连接不同割补-连接算符族及其通过Jack多项式作用于对称函数中的作用。

提出的方法

• 将斜Hurwitz τ函数定义为对分拆的求和，涉及斜Schur函数S_{R/Q}，时间变量{g_k}、{p_k}与{p̄_k}，并通过ξ_R(u)函数引入参数{u_i}与{v_j}。
• 采用广义割补-连接算符形式化，其中生成函数表示为每个Young图R中框的(u_i + j - i)的乘积。
• 应用由割补-连接算符构造的旋转算符Ô，以关联w∞的不同交换子代数，将其解释为代数的图示表示中的“旋转”。
• 通过Dunkl算符D̂_i = ∂/∂λ_i + β∑_{j≠i} 1/(λ_i - λ_j)(1 - P_ij)推导哈密顿量的β变形，从而得到有理与三角型Calogero-Sutherland模型。
• 将哈密顿量Ĥ_k表示为导数的迹：Ĥ_k = Tr(∂^k/∂Λ^k)，并证明当β=1时，其退化为具有正常排序的标准形式。
• 证明水平族对应于简单导数，竖直族对应于三角型Calogero-Sutherland，45度族对应于有理型Calogero-Sutherland哈密顿量，通过β变形实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将割补-连接算符形式化推广至斜Hurwitz τ函数，以保持可积性与W-表示？
• RQ2 广义斜Hurwitz τ函数的多矩阵模型表示是什么，特别是(1,1)与(n,n)情形？
• RQ3 β变形如何影响斜Hurwitz τ函数的结构及其与Calogero-Sutherland系统的关联？
• RQ4 旋转算符Ô在连接w∞的不同交换子代数中起什么作用，其如何作用于对称函数？
• RQ5 不同族的割补-连接算符（竖直、水平、45度）如何对应于已知的可积系统，如有理与三角型Calogero-Sutherland模型？

主要发现

• 斜Hurwitz τ函数Z_{(n,m)}是Toda格子层次的KP可积超几何τ函数，由广义割补-连接算符生成。
• (1,1)情形的τ函数等价于一个具有两个势能和一个外部矩阵场的两矩阵模型，推广了广义Kontsevich模型。
• τ函数的β变形保持了W-表示，并通过Dunkl算符构造导致有理与三角型Calogero-Sutherland哈密顿量。
• 在β变形后，竖直族与45度族的割补-连接算符分别对应于三角型与有理型Calogero-Sutherland哈密顿量。
• 水平族对应于简单导数，旋转算符Ô在w∞的不同交换子代数之间起到互换子作用。
• 当β=1时，形式化退化为具有正常排序导数的标准矩阵模型表达式，哈密顿量形式为Ĥ_k = Tr(∂^k/∂Λ^k)。