[论文解读] On Kurepa's problems in number Theory

Aleksandar Ivić, Žarko Mijajlović|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文研究了杜罗·库雷帕未解决的数论问题，重点探讨左阶乘猜想——即奇素数 p 不整除从 0! 到 (p−1)! 的阶乘和——并提出了在有限域中的等价表述。研究建立了与素数分布、孪生素数及等差数列的联系，同时通过计算验证了该猜想在 n ≤ 1,000,000 范围内的成立性，并将其与更广泛的猜想相联系。

ABSTRACT

We discuss some problems in number theory posed by Djuro Kurepa (1907-1993), including his classical left factorial hypothesis that an odd prime $p$ does not divide $0! + 1! + ... + (p-1)!$.

研究动机与目标

• 回顾并分析杜罗·库雷帕提出的较少为人知的数论问题，特别是左阶乘猜想。
• 在有限域 GF(p) 中建立左阶乘猜想的等价表述，特别是涉及二项式系数与阶乘的和的形式。
• 研究涉及素数平方及其相邻素数的序列符号行为，动机源于库雷帕的第二和第三问题。
• 探讨与库雷帕问题相关的等差数列中素数三元组及单元素集合的无穷性。
• 将库雷帕的猜想与主要未解问题（如孪生素数猜想和贝特曼-霍恩猜想）相联系。

提出的方法

• 将左阶乘猜想表述为对所有 n > 2 有 !n ≢ 0 (mod n)，并证明其等价于对所有奇素数 p 有 (p, !p) = 1。
• 利用涉及 (−1)^k / k! 和二项式系数的恒等式，在 GF(p) 中推导出等价命题，表明该猜想成立当且仅当某些和在模 p 意义下非零。
• 通过 Slavić、Wagstaff、Mijajlović 和 Gogić 的计算验证，确认该猜想对所有 n < 1,000,000 成立。
• 应用伯特兰引理和素数定理，分析素数序列的渐近行为，推导出涉及 p_n² 与前序素数和的不等式。
• 将 s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1} 的符号与素数定理及已知的素数间隔界联系起来。
• 通过庞梅朗斯关于存在无穷多个好素数的结果，将 π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} 的符号与好素数及孪生素数的存在性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个奇素数 p，是否都有 p 不整除从 0! 到 (p−1)! 的阶乘和？
• RQ2 左阶乘猜想能否在有限域 GF(p) 中以非零和的形式等价重述？
• RQ3 是否存在无穷多个素数 p，使得 p_n² > p_{n−1} + p_{n+1}？
• RQ4 若孪生素数猜想成立，是否意味着 π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} 对无穷多个 n 为负？
• RQ5 是否存在无穷多个满足 n ≡ 1 (mod 3) 的 n，使得集合 P(n)（即所有满足 x−2n、x、x+2n 均为素数的素数 x）为单元素集？

主要发现

• 左阶乘猜想等价于对所有奇素数 p，有 ∑_{k=0}^{p−1} (−1)^k (k+1)(k+2)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p)。
• 该猜想已通过计算验证，对所有 n < 1,000,000 成立，Gogić 确认其在 n = 10^6 范围内成立。
• 左阶乘猜想等价于对所有素数 p，有 ∑_{k=0}^{p−1} binom{p−1}{k} (k+1)⋯(p−1) ≢ 0 (mod p)。
• 序列 s_n = p_n² − p_{n−1} − p_{n+1} 对所有 p_n ≥ 5 为正，该结论由伯特兰引理得证。
• 若孪生素数猜想成立，则 π_n = p_n² − p_{n−1}p_{n+1} 对无穷多个 n 为负，原因在于不等式 p_n² − p_{n−1}p_{n+1} ≤ −2p_{n−1} + 4 < 0。
• 贝特曼-霍恩猜想表明，存在无穷多个满足 n ≡ 1 (mod 3) 的 n，使得 P(n) 为单元素集，即存在某个 x 使得 x−2n、x、x+2n 全为素数。