[论文解读] On $L^{1}$-Convergence of Fourier Series Under $MVBV$ Condition

Dan Sheng Yu, Ping Zhou+1 more|ArXiv.org|Apr 14, 2007

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在傅里叶系数满足均值有界变差（MVBV）条件下，建立了复值 $2\pi$-周期函数傅里叶级数的 $L^1$-收敛性。它通过将单调性条件替换为 MVBV 条件，推广了经典结果，证明了 $\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ 当且仅当 $\hat{f}(n)\log|n| \to 0$，且 MVBV 条件是复值情形下实现该收敛性的最弱可能条件。

ABSTRACT

Let $f\in L_{2π}$ be a real-valued even function with its Fourier series $ \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos nx,$ and let $S_{n}(f,x), n\geq 1,$ be the $n$-th partial sum of the Fourier series. It is well-known that if the nonnegative sequence $\{a_{n}\}$ is decreasing and $\lim\limits_{n o \infty}a_{n}=0$, then $$ \lim\limits_{n o \infty}\Vert f-S_{n}(f)\Vert_{L}=0 {if and only if} \lim\limits_{n o \infty}a_{n}\log n=0. $$ We weaken the monotone condition in this classical result to the so-called mean value bounded variation ($MVBV$) condition. The generalization of the above classical result in real-valued function space is presented as a special case of the main result in this paper which gives the $L^{1}$% -convergence of a function $f\in L_{2π}$ in complex space. We also give results on $L^{1}$-approximation of a function $f\in L_{2π}$ under the $% MVBV$ condition.

研究动机与目标

• 通过弱化傅里叶系数的单调性条件，推广经典 $L^1$-收敛结果。
• 在傅里叶系数满足 MVBV 条件下，建立复值 $2\pi$-周期函数傅里叶级数的 $L^1$-收敛性。
• 证明 MVBV 条件是取代单调性以实现偶实值函数 $L^1$-收敛结果的最弱可能条件。
• 在 MVBV 条件下推导 $L^1$-逼近速率，将收敛性与最佳逼近及连续模联系起来。

提出的方法

• 引入复数列的 MVBVS（均值有界变差序列）条件，要求在 dyadic 区间上相对于均值具有有界变差。
• 使用关键条件 $\lim_{\mu \to 1^+} \limsup_{n \to \infty} \sum_{k=n}^{[\mu n]} |\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)| \log k = 0$ 来控制傅里叶系数中的振荡。
• 应用引理 1，利用 dyadic 区间上的最大值来有界部分和的差值，利用 MVBV 性质。
• 使用引理 2，将 $f - S_n(f)$ 的 $L^1$-范数与系数模的调和级数联系起来。
• 通过 dyadic 分解和范数估计，利用必要性与充分性证明，建立 $L^1$-收敛性与 $\hat{f}(n)\log|n| \to 0$ 的等价性。
• 通过证明 $\|f - S_n(f)\|_L = O(\psi_n)$ 当且仅当 $E_n(f)_L = O(\psi_n)$ 且 $\hat{f}(n)\log|n| = O(\psi_{|n|})$，推广逼近理论，其中 $\psi_n$ 为递减且满足 $\psi_n \sim \psi_{2n}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于复值 $2\pi$-周期函数，傅里叶级数部分和与函数差的 $L^1$-范数趋于零的傅里叶系数条件是什么？
• RQ2 经典 $L^1$-收敛结果中的单调性条件能否被更一般的条件替代？若是，最弱的此类条件是什么？
• RQ3 MVBV 条件如何与次数为 $n$ 的三角多项式对 $f$ 的 $L^1$-逼近速率相关？
• RQ4 在 MVBV 条件下，$L^1$-收敛的精确等价条件是什么，以傅里叶系数的衰减速率表示？

主要发现

• 在 $\{\hat{f}(n)\}_{n=0}^\infty$ 满足 MVBV 条件及差值 $\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)$ 的辅助条件下，$L^1$-收敛 $\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ 当且仅当 $\hat{f}(n)\log|n| \to 0$。
• MVBV 条件被提出为 $L^1$-收敛中单调性最弱的可能推广，其角色类似于其在正弦级数一致收敛中的作用。
• 对于实值偶函数，结果退化为经典等价关系：$\|f - S_n(f)\|_L \to 0$ 当且仅当 $a_n \log n \to 0$，前提是 $\{a_n\}$ 满足实 MVBV 条件。
• $L^1$-逼近速率满足 $\|f - S_n(f)\|_L = O(\psi_n)$ 当且仅当最佳逼近 $E_n(f)_L = O(\psi_n)$ 与 $\hat{f}(n)\log|n| = O(\psi_{|n|})$ 同时成立。
• 推论 3 通过证明 $\|f - S_n(f)\|_L = O\left(\frac{1}{(n+1)^r}\omega(f^{(r)}, \frac{1}{n+1})_L\right)$ 当且仅当 $\hat{f}(n)\log|n| = O\left(\frac{1}{(n+1)^r}\omega(f^{(r)}, \frac{1}{n+1})_L\right)$，推广了 Jackson 型逼近定理。
• 当 $\mu \to 1^+$ 时，条件 $\sum_{k=n}^{[\mu n]} |\Delta \hat{f}(k) - \Delta \hat{f}(-k)| \log k \to 0$ 是充分的，且可替代定理 1 中的完整条件。