[论文解读] On $L_2$-approximation in Hilbert spaces using function values

David Krieg, Mario Ullrich|arXiv (Cornell University)|May 7, 2019

Mathematical Approximation and Integration参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文在仅使用函数值的条件下，建立了希尔伯特空间中 $L_2$-逼近的改进界，表明第 $n$ 个最小最大误差 $e_n$ 满足 $e_n \lesssim a_{n/\log n}$，其中 $a_n$ 是使用任意线性信息时的误差。对于具有主导混合光滑度 $H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$ 且 $s > 1/2$ 的索伯列夫空间，该结果给出 $e_n \lesssim n^{-s} \log^{sd}(n)$，当 $d > 2s + 1$ 时优于以往结果。该结果展示了在特定光滑度与维度条件下，函数值在逼近中的强大作用。

ABSTRACT

We study $L_2$-approximation of functions from Hilbert spaces $H$ in which function evaluation is a continuous linear functional, using function values as information. Under certain assumptions on $H$, we prove that the $n$-th minimal worst-case error $e_n$ satisfies \[ e_n \,\lesssim\, a_{n/\log(n)}, \] where $a_n$ is the $n$-th minimal worst-case error for algorithms using arbitrary linear information, i.e., the $n$-th approximation number. Our result applies, in particular, to Sobolev spaces with dominating mixed smoothness $H=H^s_{ m mix}(\mathbb{T}^d)$ with $s>1/2$ and we obtain \[ e_n \,\lesssim\, n^{-s} \log^{sd}(n). \] This improves upon previous bounds whenever $d>2s+1$.

研究动机与目标

• 分析希尔伯特空间中仅使用函数值作为连续线性泛函的 $L_2$-逼近问题。
• 确定仅使用函数值作为信息时，第 $n$ 个最小最大误差，与使用任意线性信息时的对比。
• 为具有主导混合光滑度的索伯列夫空间中的逼近建立改进的误差界，尤其在高维情形下。
• 阐明使用函数值与使用任意线性信息时逼近误差之间的关系。

提出的方法

• 分析基于函数值在希尔伯特空间 $H$ 中是连续线性泛函的假设，确保再生核的存在。
• 作者将仅使用函数值信息时的第 $n$ 个最小最大误差 $e_n$ 与对应于任意线性信息的第 $n$ 个逼近数 $a_n$ 进行比较。
• 关键技术步骤涉及将 $e_n$ 的衰减速率与 $a_{n/\log n}$ 的衰减速率关联，利用核的性质与特征值分布。
• 该方法适用于具有主导混合光滑度的空间，特别是 $H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$，通过利用此类空间已知的特征值渐近性质。
• 证明技术采用插值与熵型论证，将函数值算法的误差以逼近数的形式进行有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特空间中，仅使用函数值的 $L_2$-逼近的最大误差与使用任意线性信息的误差相比如何？
• RQ2 当仅使用函数值时，具有主导混合光滑度的索伯列夫空间中 $L_2$-逼近的最优收敛速率是什么？
• RQ3 在何种维度与光滑度条件下，使用函数值能获得严格优于以往结果的误差界？
• RQ4 能否以逼近数 $a_n$ 的形式对仅使用函数值时第 $n$ 个最小误差的衰减速率进行有界？

主要发现

• 仅使用函数值时，$L_2$-逼近的第 $n$ 个最小最大误差 $e_n$ 满足 $e_n \lesssim a_{n/\log n}$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 个逼近数。
• 对于满足 $s > 1/2$ 的索伯列夫空间 $H^s_{\text{mix}}(\mathbb{T}^d)$，误差界为 $e_n \lesssim n^{-s} \log^{sd}(n)$。
• 当维度 $d$ 超过 $2s + 1$ 时，该界优于以往结果，表明在高维情形下有显著改进。
• 该改进源于函数值在捕捉具有主导混合光滑度函数结构方面的高效利用。