[论文解读] On L-embeddings and double covers of tori over local fields

Tasho Kaletha|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2019

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文引入了局部域 $F$ 上环 $T$ 的 $F$-有理点的典范双重覆盖 $T(F)_{\pm}$，并配备了一个典范 $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$，建立了以 ${}^{L}T_{\pm}$ 取值的 $L$-参数与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标之间的自然双射。此外，当 $T$ 是半单群 $G$ 的极大环时，本文构造了一个典范的 $L$-嵌入 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$，从而实现 $L$-参数的分解，并通过哈里什-钱德拉特征标公式，提出对上行局部兰道斯对应关系的猜想性刻画。

ABSTRACT

To a torus T over a local field F and a subset of its character module subject to certain properties, we associate a canonical double cover of the topological group T(F). We further associate an L-group to this double cover and establish a natural bijection between L-parameters valued in this L-group and genuine characters of the double cover. When T is a maximal torus of a connected reductive group G, we show that there is a canonical L-embedding from the L-group of the double cover of T to the L-group of G. This leads to a canonical factorization of Langlands parameters. We associate to a genuine character of the double cover subject to certain conditions a Harish-Chandra character formula and use it to give a conjectural characterization of the supercuspidal local Langlands correspondence for G, subject to a certain condition on p. This generalizes previous work of Adams and Vogan F=R, and reinterprets computations of Langlands and Shelstad.

研究动机与目标

• 构造局部域 $F$ 上环 $T$ 的 $F$-有理点的典范双重覆盖 $T(F)_{\pm}$，并配备由 $\chi$-数据导出的附加结构。
• 定义与该双重覆盖相关的 $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$，推广魏尔形式的 $L$-群，并扩展 $\rho$-覆盖的框架。
• 建立以 ${}^{L}T_{\pm}$ 取值的 $L$-参数与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标之间的自然双射，从而将表示论数据与兰道斯参数联系起来。
• 当 $T$ 是半单群 $G$ 中的极大环时，构造一个典范的 $L$-嵌入 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$，从而实现 $L$-参数的分解。
• 通过与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标相关的哈里什-钱德拉特征标公式，提出对 $G$ 的上行局部兰道斯对应关系的猜想性刻画。

提出的方法

• 双重覆盖 $T(F)_{\pm}$ 通过一个涉及由 $\Sigma$-不变子集 $R \subset X^*(T)$ 关联的诱导一维非分歧环 $J_O$ 的典范态射作为拉回构造而成。
• ${}^{L}T_{\pm}$ 的 $L$-群定义为 $\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$ 的上推，其中后者通过 $\chi$-数据产生的蒂茨上闭链进行扭曲。
• 真实特征标 $\chi_S$ 的 $L$-参数通过度 1 的沙皮罗映射，作为 $J_\alpha(F)_{\pm}$ 上 $\chi_\alpha$ 的 $L$-参数的乘积在上推映射下的像获得。
• 该构造利用沙皮罗同构，将 ${}^{L}T_{\pm}$ 的 $L$-参数与 $C^1(W_{E_\pm}, \mathbb{C}^\times_{(-1)})$ 中的上链联系起来，其微分等于由 $\chi$-数据确定的典范上闭链 $z$，从而确保与 $\chi$-数据的相容性。
• 当 $T$ 是 $G$ 中的极大环时，通过 $\chi$-数据和 $L$-群的魏尔形式结构，证明了 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$ 的 $L$-嵌入可自然存在。
• 为每个 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标关联一个哈里什-钱德拉特征标公式，该公式用于通过迹恒等式猜想性刻画上行兰道斯参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为局部域 $F$ 上环 $T$ 的 $F$-有理点构造一个典范双重覆盖 $T(F)_{\pm}$，并配备一个相容的 $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$？
• RQ2 是否存在以 ${}^{L}T_{\pm}$ 取值的 $L$-参数与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标之间的自然双射？
• RQ3 当 $T$ 是半单群 $G$ 中的极大环时，是否存在一个典范的 $L$-嵌入 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$？
• RQ4 能否通过与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标相关的哈里什-钱德拉特征标公式，来刻画上行兰道斯对应关系？
• RQ5 该 $L$-群 ${}^{L}T_{\pm}$ 与亚当斯-沃根在实数情形下的 $\rho_i$-覆盖和 $E$-群构造有何关系？它如何推广到 $p$-进域？

主要发现

• 对于任意局部域 $F$ 上的环 $T$，通过 $\chi$-数据和分解为诱导一维非分歧环 $J_O$ 的方法，构造了典范双重覆盖 $T(F)_{\pm}$。
• ${}^{L}T_{\pm}$ 定义为 $\widehat{S} \leftarrow \prod \widehat{J}_O \to {}^{L}(\prod J_O)_{\pm}$ 的上推，其扭曲上闭链由 $\chi$-数据产生的蒂茨上闭链给出。
• 以 ${}^{L}T_{\pm}$ 取值的 $L$-参数与 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标之间存在自然双射，该双射通过度 1 的沙皮罗同构实现。
• 当 $T$ 是半单群 $G$ 中的极大环时，存在一个典范的 $L$-嵌入 ${}^{L}T_{\pm} \to {}^{L}G$，从而实现 $L$-参数的分解。
• 为每个 $T(F)_{\pm}$ 的真实特征标关联一个哈里什-钱德拉特征标公式，该公式在残数特征 $p$ 满足某一条件时，被猜想可刻画 $G$ 的上行局部兰道斯对应关系。
• 该构造将亚当斯-沃根的 $\rho_i$-覆盖推广至 $p$-进域，并通过 $L$-群与真实特征标提供了一个统一的局部兰道斯对应关系框架。