[论文解读] On $L_p$-Solvability of Stochastic Integro-Differential Equations

István Gyöngy, Sizhou Wu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文通过证明在Bessel势空间中解的存在性、唯一性和正则性，建立了广义退化随机积分-微分方程抛物型方程族的$L_p$-可解性，包括跳跃扩散的Zakai方程。关键贡献是通过插值方法，对所有$p \geq 2$建立了关于初始数据和强迫项的$L_p$-估计，时间正则性通过本质Essential上确界范数捕捉。

ABSTRACT

A class of (possibly) degenerate stochastic integro-differential equations of parabolic type is considered, which includes the Zakai equation in nonlinear filtering for jump diffusions. Existence and uniqueness of the solutions are established in Bessel potential spaces.

研究动机与目标

• 建立广义退化随机积分-微分方程抛物型方程族在$L_p$-空间中广义解的存在性与唯一性。
• 为所有$p \geq 2$和$s \in [0,m]$的Bessel势空间$H^s_p$推导解的$L_p$-估计。
• 将可解性理论扩展至由跳跃扩散和Poisson随机测度驱动的方程，包括非线性滤波中的Zakai方程。
• 通过时间上的本质上确界估计，刻画解的时间与空间正则性。
• 构建一个在基于$L_p$的函数空间中有界且连续的解算子，从而实现对非整数光滑性指标的插值。

提出的方法

• 使用跳跃扩散的Itô公式，将Krylov的结果推广至包含Lévy噪声的情形。
• 通过能量估计和鞅不等式，在Sobolev空间$W^n_p$（$p = 2^k$，$k \in \mathbb{N}$）中构造先验估计。
• 通过非退化、光滑且紧支集的近似问题逼近原方程，并在$L_p$-空间中取弱极限。
• 应用插值理论（实插值）将先验估计从$p = 2^k$扩展至所有$p \geq 2$。
• 利用函数在$[0,T]$上本质上确界是其$L_r$-范数在$r \to \infty$时极限的事实，推导时间正则性估计。
• 引入截断函数$\chi_n(x) = \chi(x/n)$以局部化数据，并证明逼近解在$L_p$-范数下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，退化随机积分-微分方程抛物型方程族在$L_p$-空间中存在唯一的广义解？
• RQ2 如何通过插值方法将解的$L_p$-估计从$p = 2^k$扩展至所有$p \geq 2$？
• RQ3 解在Bessel势空间$H^s_p$中的精确时间与空间正则性是什么？
• RQ4 从初始数据和强迫项到解的解算子在有界性与连续性方面如何表现？
• RQ5 解范数在时间上的本质上确界能否用初始数据和强迫项的范数来估计？

主要发现

• 对所有$p \geq 2$，$r > 1$，$m \in \mathbb{N}_0$，柯西问题(1.1)–(1.2)在空间$\mathbb{U}^m_{r,p}$中存在唯一的广义解$u$。
• 解满足先验估计$\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$，对所有$s \in [0,m]$成立。
• 解算子$\mathbb{S}$是从$\Psi^m_p \times \mathbb{H}^m_p \times \mathbb{H}^{m+1}_p(l_2) \times \mathbb{H}^{m+i}_p,\mathcal{L}_{p,2}$到$\mathbb{U}^m_{r,p}$有界且连续，其范数依赖于$d, p, m, T, K, K_\xi, K_\eta$。
• 对于非整数$s \in (0,m)$，解作为$H^s_p$-值过程是强右连续且具有左极限的（cadlag），通过实插值和定理4.1(v)中的插值不等式建立。
• 时间上的本质上确界估计通过取$L_r$-范数在$r \to \infty$时的极限得到，结果为$\mathbb{E} \sup_{t \in [0,T]} |u_t|_{H^s_p}^p \leq N \left( \mathbb{E} |\psi|_{H^s_p}^p + \mathbb{E} \mathcal{K}^p_{s,p}(T) \right)$。
• 通过引理3.10，该结果对$p \in (0,p)$也成立，从而将估计扩展至所有$p > 0$。